Prawdopodobieństwo rozwiązania nierówności.

[ziom321]

Rozważamy wszystkie rozwiązania nierówności \(\displaystyle{ x_{1} + x_{2} + x_{3} \le 16}\) ze zbioru liczb całkowitych nieujemnych. Zakładając, że wylosowanie każdego z rozwiązań jest prawdopodobne, obliczyć prawdopodobieństwo wylosowania rozwiązania spełniającego warunek \(\displaystyle{ x_{2} = 5}\).
UWAGA: Jedno rozwiązanie, to trójka liczb całkowitych nieujemnych.

Bardzo bym prosił o rozwiązanie tego zadania, ponieważ nie bardzo wiem jak się za niego zabrać. Co prawda w miarę wiem jak to się robiło w zadaniach z równością dla \(\displaystyle{ x_{1} + x_{2} + x_{3}}\), ale tu nie bardzo wiem jak to rozwiązać.

[HelperNES]

Po prostu bierzesz trzy nieujemne liczby uwzględniając ich kolejność. Ich suma ma być mniejsza, bądź równa 16. Przykładowo \(\displaystyle{ \left(1,2,3\right) \in \Omega}\) , ponieważ \(\displaystyle{ 1+2+3=6\le 16}\)

Mając wszystkie możliwości otrzymujesz ile wynosi \(\displaystyle{ |\Omega|}\).
Potem w \(\displaystyle{ \Omega}\) musisz znaleźć wszystkie trójki, w których 5 jest na drugim miejscu. Otrzymasz wtedy ile wynosi \(\displaystyle{ |A|}\)

No, a wtedy \(\displaystyle{ P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}}\)

[kerajs]

\(\displaystyle{ P= \frac{\sum_{k=1}^{12} {k \choose 1}}{ \sum_{n=2}^{18} {n \choose 2} }}\)

[ziom321]

No właśnie problem w tym, że nie bardzo wiem jak policzyć tą \(\displaystyle{ \left|\Omega \right|}\), ponieważ nie wiem z jakiego wzoru skorzystać, a liczenie ręczne raczej się nie sprawdzi. Zakładam np. że \(\displaystyle{ x_{1} \in <0,17>, x_{2} \in <0,17-x_{1}>, x_{3} \in <0,17-x_{1}-x_{2}>}\), ale nie wiem czy to dobry kierunek i jak z tego wyliczyć \(\displaystyle{ |\Omega|}\).

A co do drugiego wzoru, to nie bardzo go rozumiem, mógłby ktoś mi go wyjaśnić?

[kerajs]

\(\displaystyle{ P= \frac{\sum_{k=1}^{12} {k \choose 1}}{ \sum_{n=2}^{18} {n \choose 2} }}\)

Licznik to:
ilość rozwiązań równania \(\displaystyle{ \blue x_1+5+x_3=5}\) + ilość rozwiązań równania \(\displaystyle{ \blue x_1+5+x_3=6}\) + ilość rozwiązań równania \(\displaystyle{ \blue x_1+5+x_3=7}\) + ... + ilość rozwiązań równania \(\displaystyle{ \blue x_1+5+x_3=16}\)
w liczbach całkowitych nieujemnych.

Mianownik to:
ilość rozwiązań równania \(\displaystyle{ \blue x_1+x_2+x_3=0}\) + ilość rozwiązań równania \(\displaystyle{ \blue x_1+x_2+x_3=1}\) + ilość rozwiązań równania \(\displaystyle{ \blue x_1+x_2+x_3=2}\) + ... + ilość rozwiązań równania \(\displaystyle{ \blue x_1+x_2+x_3=16}\)
w liczbach całkowitych nieujemnych.

[ziom321]

Bardzo dziękuje za wytłumaczenie, właśnie teraz sobie zdałem sprawę że jest to ze wzoru na \(\displaystyle{ {n+k-1 \choose k}}\). Jeszcze raz dziękuję.