warunkowa wartość oczekiwana minimum

[gienia]

Losujemy punkt \(\displaystyle{ X_1}\) z \(\displaystyle{ [0,1]}\). Następnie z \(\displaystyle{ [0,2X_1]}\) losujemy \(\displaystyle{ X_2}\).
Znajdź \(\displaystyle{ Emin(X_1,X_2)}\).

\(\displaystyle{ min(X_1,X_2)=X_1 \mathbbb{1}_{\{X_1<X_2\}}+X_2\mathbbb{1}_{\{X_1>X_2\}}}\)

Liczę \(\displaystyle{ EX_1 \mathbbb{1}_{\{X_1<X_2\}}}\).
\(\displaystyle{ EX_1 \mathbbb{1} _{\{X_1<X_2\}}=E(E(X_1\mathbbb{1}_{\{X_1<X_2\}}|X_2=c))}\)
\(\displaystyle{ EX_1 \mathbbb{1}_{\{X_1<c\}}= \frac{c}{2}}\)
\(\displaystyle{ EX_1 \mathbbb{1}_{\{X_1<X_2\}}= \frac{1}{2} EX_2= \frac{1}{4}}\)

Dobrze?

[janusz47]

Dlaczego zachodzi druga równość od końca?

[gienia]

\(\displaystyle{ EX_1 \mathbbb{1} _{\{X_1<X_2\}}=E(E(X_1\mathbbb{1}_{\{X_1<X_2\}}|X_2=c))}\)
\(\displaystyle{ EX_1 \mathbbb{1}_{\{X_1<c\}}= \frac{c}{2}}\)
\(\displaystyle{ EX_1 \mathbbb{1}_{\{X_1<X_2\}}= \frac{1}{2} EX_2= \frac{1}{4}}\)

Wynik drugiej linijki wstawiam do pierwszej (za c biorę X2). Środek trzeciej linijki to właśnie ta prawa strona pierwszej linijki po podstawieniu.

W tej pierwszej linijce powinno być jeszcze bez podstawienia c, samo X2 w warunku

[robertm19]

Spróbuj \(\displaystyle{ E(\min(X_1,X_2))=E(E\min(c,X_2)|X_1=c)}\)