Ciągła zmienna losowa

[darkwind]

Dana jest funkcja
f(x)=\(\displaystyle{ \begin{cases} 0 , dla x<- \frac{\pi}{2} \\ acos(x)*e ^{sin(x)} dla \frac{-\pi}{2} \le x \le \frac{\pi}{2} \\ 0 , dla x< \frac{\pi}{2} {} \end{cases}}\)
Polecenie:
Wyznacz stałą rzeczywistą a tak, aby funkcja opisywała gęstość prawdopodobieństwa zmiennej losowej X typu ciągłego. Wyznacz dystrybuantę tej zmiennej losowej i naszkicuj wykres. Oblicz P(\(\displaystyle{ \left| X\right|}\))< \(\displaystyle{ \pi}\) , podaj E(X), D(X), medianę o ile istnieją.

I tutaj moje obliczenia:

\(\displaystyle{ \int_{ -\infty }^{\infty } = f(x) dx = \int_{ -\infty }^{ \frac{-\pi}{2} } 0 dx +
\int_{ \frac{-\pi}{2} }^{ \frac{\pi}{2} } acos(x)*e ^{sin(x)} dx + \int_{ \frac{\pi}{2} }^{ \infty } 0dx}\)

Po podstawieniu pod całkę
\(\displaystyle{ t=sin(x)}\)
\(\displaystyle{ dt = cos(x) dx}\)
Wyszło mi, że całka równa się \(\displaystyle{ a*e ^{sin(x)} = 1}\)

I nie mam pojęcia teraz jak wyznaczyć stałą rzeczywistą a

[janusz47]

\(\displaystyle{ \int_{-1}^{1}a e^{t}dt = 1,}\)

\(\displaystyle{ ae - ae^{-1} = 1,}\)

\(\displaystyle{ a\left ( \frac{e^2 -1}{e}\right)=1,}\)

\(\displaystyle{ a = \frac{e}{e^2 -1}.}\)

[darkwind]

Dziękuję bardzo za odpowiedz