Warunkowa wartość oczekiwana

[somas3k]

Załóżmy, że \(\displaystyle{ X_{1}}\), \(\displaystyle{ X_{2}}\) są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie wykładniczym \(\displaystyle{ E(X_{i})=\frac{1}{\lambda}, \ i=1,2}\). Niech \(\displaystyle{ Y=min(X_{1},X_{2})}\).
Wyznaczyć \(\displaystyle{ E(X_{1}|Y)}\). Odpowiedź to \(\displaystyle{ Y+\frac{1}{2\lambda}}\)

Nie wiem od czego tu zacząć i jak to dalej pociągnąć więc uprzejmie się zwracam do Was z prośbą o wskazówki bez pisania rozwiązania. Z góry dziękuję

//edit:
Wyznaczyłem dystrybuantę Y i wartość oczekiwaną Y: \(\displaystyle{ EY=\frac{1}{2\lambda}}\)
Wydaje mi się, że trzeba jakoś rozpisać to \(\displaystyle{ E(X_{1}|Y)}\) ale nie mam pomysłu jak

[janusz47]

Korzystamy z równości:

\(\displaystyle{ E(X_{1}|Y) = \frac{E(I_{Y}(X_{1}))}{P(Y)}}\)

gdzie: \(\displaystyle{ I_{Y}}\) jest indykatorem funkcji \(\displaystyle{ Y.}\)

\(\displaystyle{ P(Y)}\) - rozkładem prawdopodobieństwa zmiennej losowej \(\displaystyle{ Y = min\{X_{1}, X_{2}\}.}\)