Współczynnik korelacji

[somas3k]

Mam dwuwymiarową zmienną losową o rozkładzie:
\(\displaystyle{ f_{(X,Y)}(x,y)= \begin{cases} xe^{-x(1+y)}, \ \ \ x > 0, \ y > 0 \\ 0 , w \ pozostalych \ przypadkach \end{cases}}\)

Potrzebuję wyznaczyć współczynnik korelacji zmiennych X, Y więc zacząłem od rozkładów brzegowych:
\(\displaystyle{ f_{X}(x)=e^{-x}}\)
\(\displaystyle{ f_{Y}(y)=\frac{1}{(1+y)^2}}\)

Następnie wartości oczekiwane:
\(\displaystyle{ EX=1}\)
I tutaj problem:
\(\displaystyle{ EY= \int_{0}^{\infty} \frac{y}{(1+y)^2}dy}\)
Podczas liczenia wychodzi mi w jednym miejscu nieskończoność, Wolfram pokazuje, że całka nie jest zbieżna. Da się jakoś innym sposobem wyznaczyć EY albo innym sposobem współczynnik korelacji? Czy przyjąć, że wartość oczekiwana Y jest nieskończona i w liczeniu kowariancji i współczynnika korelacji przyjąć właśnie, że EY to nieskończoność?

[Takahashi]

Cóż...

\(\displaystyle{ \frac{y}{(1+y)^2} \approx \frac 1y}\),

więc nie, zmienna \(\displaystyle{ Y}\) nie ma wartości oczekiwanej. Gdyby miała taki rozkład brzegowy, bo raczej go nie ma. Według moich rachunków prawdziwa jest równość

\(\displaystyle{ \mathbb E Y =\frac{1}{2} \left(-2 \text{Ei}(-2)+2 \text{Ei}(-1)+\frac{1}{e^2}-1+\log (4)\right)}\).