Znaleźć rozkład ilorazu

[Benny01]

Wyznaczyć gęstość rozkładu zmiennej losowej \(\displaystyle{ U=\frac{X}{X+Y}}\), gdy \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych \(\displaystyle{ Exp(\lambda)}\).


\(\displaystyle{ P(U le u)=P(frac{X}{X+Y} le u)=P(X le uX+uY)=P(X le frac{u}{1-u}Y, u in [0,1))+P(X ge frac{u}{1-u}Y, u in (1,+ infty ))}\)
Jak teraz to całkować?

[Premislav]

To już było:
423445.htm

A tutaj masz też dla szczególnego przypadku \(\displaystyle{ lambda=1}\), idei rozumowania to tak bardzo nie zmienia:
393613.htm

[Benny01]

Ok, dzięki. Widzę, że w moim trzeba drugą cześć wyrzucić i będzie ok.