warunkowa wartość oczekiwana

[gienia]

Wektor losowy \(\displaystyle{ \left( X,Y \right)}\) ma rozkład o gęstości:

\(\displaystyle{ f \left( x,y \right) = \begin{cases} y^{-3}, \ y>\max \left( 1,x \right) , x>0 \\ 0, \ \mbox{dla pozostałych} \end{cases}}\)

Znaleźć \(\displaystyle{ E \left( Y|X \right)}\).

Policzyłam, że \(\displaystyle{ P \left( X=x \right) =\min \left( \frac{1}{2}, \frac{1}{2x^2} \right)}\) i nie wiem co z tym dalej zrobić, żeby z tego max i min coś sensownego wychodziło

-- 28 sie 2017, o 08:25 --

Wyszło mi coś takiego, możliwe to?
\(\displaystyle{ E(Y|X=x) = \begin{cases} 2, 0<x \le 1\\ 2x, dla pozostałych\end{cases}}\)

[janusz47]

A jak uzyskałaś ten wzór?

[gienia]

\(\displaystyle{ P(X=x)}\) - scałkowałam \(\displaystyle{ f(x,y)}\) po \(\displaystyle{ y}\).

A potem podzieliłam f(x, y) przez P(X=x) i to chyba powinno być P(Y|X=x).
Dalej policzyłam \(\displaystyle{ \int_{\max \left( 1,x \right)}^{ \infty } yP(Y=y|X=x)dy}\) i takie coś mi wyszło: \(\displaystyle{ E(Y|X=x) = \begin{cases} 2, 0<x \le 1\\ 2x, dla pozostałych\end{cases}}\)

[janusz47]

Dobrze
Najpierw obliczamy gęstość brzegową \(\displaystyle{ f_{1}}\) względem \(\displaystyle{ y.}\)

Tylko potem iloraz \(\displaystyle{ h(y|x) = \frac{f(x,y)}{f_{1}(x)}.}\)
Dobrze
A na końcu \(\displaystyle{ E(Y|X) = \int_{max(1,x)}^{\infty}y h(y|x)dy.}\)