Prawdopodobieństwo klasyczne - kolejka ludzi

[mgut]

Witajcie. Mam niewielki problem z zadaniem, który nie daje mi spokoju.

Oto treść zadania:

Na otwarciu sklepu wchodzi do niego 21 osób. Później przy wyjściu, przy kasie ustawiają się w kolejce. Jakie jest prawdopodobieństwo, że pomiędzy z góry ustaloną dwójką z nich ustawi się 8 osób?

Odpowiedzią jest: 19!*12*2/21!

Ja to zadanie rozumiem tak:

Mamy 21 osób. Moc omega to wszystkie możliwe kombinacje na ile te 21 osób może się ustawić czyli: 21!
Moc zbioru A czyli wszystkie sytuacje, które sprzyjają zdarzeniu z treści: np. A,1,2,3,4,5,6,7,8,B,9,10,11...21) [osoby A i B to te wybrane], przesuwając w lewo aż osoba B będzie na miejscu ostatnim a osoba A, 8 miejsc na lewo od niego. Czyli takich sytuacji dla dwóch wybranych osób jest 12. Dodatkowo te osoby mogły by być zamienione miejscami czyli 12 możliwości mnożymy jeszcze *2.

I tu pojawia się problem. Czemu w mocy zbioru A pojawia się 19! ? Moją odpowiedzią było: mocA=12*2* {21 2} ponieważ jest 12 sytuacji*2 możliwe ustawienia osób A i B no i mnożę to jeszcze razy ilość kombinacji wyboru 2 osób spośród 21 możliwych.

Gdzie jest błąd w moim toku rozumowania ?

Dziękuje bardzo za pomoc. Pozdrawiam.

[NogaWeza]

Ustalasz miejsce osób \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) - jasne. Owszem, możesz mieć przecież zarówno \(\displaystyle{ A,1,2,3,4,5,6,7,8,B,...}\) jak i \(\displaystyle{ 1, A, 2, 3, 4,5,6,7,8,9,B,...}\) i tak dalej - stąd te \(\displaystyle{ 12}\) możliwości. Słusznie zauważyłeś również, że przecież \(\displaystyle{ A, ... , B}\) to to samo co \(\displaystyle{ B, ... , A}\) - stąd dwie możliwości. Natomiast \(\displaystyle{ 19!}\) bierze się stąd, że osoby to racze nie są jakieś zapałki czy kule w pudełkach - osoby są rozróżnialne. Przecież osoba numer \(\displaystyle{ 2}\) może wciąż się zamienić z osobą numer \(\displaystyle{ 17}\) miejscami (jeśli mówimy o tym pierwszym przypadku, gdzie \(\displaystyle{ A}\) jest najbardziej na lewo) i będzie to inne ustawienie (czyli trzeba je zliczyć), ale wciąż spełniające warunki zadania.

[mgut]

Dziękuje bardzo za odpowiedź! Już rozumiem gdzie był błąd w moim rozumowaniu. Przyjąłem, że liczy się ustawienie tylko tych dwóch osób niezależnie od reszty choć faktycznie każda zmiana to inny element w zbiorze A. Bardzo dziękuje !!