Zadanie:
Wykazać, że funkcja \(\displaystyle{ P : B(R)
ightarrow [0, infty)}\) zdefiniowana wzorem:
\(\displaystyle{ P(A)= egin{cases} frac{1}{3}|A cap [0,1)|, gdy -1
otin A i 2
otin A \ frac{1}{3}|A cap [0,1)|+frac{1}{2}, gdy -1 in A i 2
otin A \ frac{1}{3}|A cap [0,1)|+frac{1}{6}, gdy -1
otin A i 2 in A \ frac{1}{3}|A cap [0,1)|+frac{2}{3}, gdy -1 in A i 2 in Aend{cases}}\)
jest rozkładem prawdopodobieństwa na prostej R. Wyznaczyć dystrybuantę tego rozkładu.
W sumie głównym problemem jaki mi to zadanie sprawia to to, że nie rozumiem zbytnio tej funkcji. Pomożecie? Trochę głupio tak 4 temat z rzędu zaczynać ale podobno kto pyta, nie błądzi
Wykazać, że funkcja jest rozkładem prawdopodobieństwa
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5220 razy
Re: Wykazać, że funkcja jest rozkładem prawdopodobieństwa
To nie jest prawda, że kto pyta, nie błądzi (co nie znaczy, że nie warto pytać). Przytoczyłbym anegdotkę dla dowodu tej tezy, ale i tak nikt nie lubi moich nieśmiesznych żartów.
Te kreseczki należy pewnie rozumieć jako miarę Lebesgue'a na prostej, przynajmniej przy tym założeniu działa (gdyby rozumieć to jako moc zbioru, to by eksplodowało gnieniegdzie do \(\displaystyle{ \infty}\), więc bez sensu).
No to u nas \(\displaystyle{ \Omega=\RR}\) i faktycznie sprawdźmy: oczywiście \(\displaystyle{ -1\in \RR}\) i \(\displaystyle{ 2 \in \RR}\), ponadto miara Lebesgue'a \(\displaystyle{ \RR \cap [0,1)}\), czyli \(\displaystyle{ [0,1)}\) jest równa \(\displaystyle{ 1}\), więc
\(\displaystyle{ \mathbf{P}(\RR)=\frac 1 3|[0,1]|+\frac 2 3=1}\), a więc
OK, jest \(\displaystyle{ \mathbf{P}(\Omega)=1}\)
Teraz tak: dla dowolnego \(\displaystyle{ A \in B(\RR)}\) mamy
\(\displaystyle{ A \cap [0,1) \in B(\RR)}\), bo jest to przekrój zbiorów borelowskich, no i oczywiście wtedy istnieje \(\displaystyle{ |A \cap [0,1)| \ge 0}\) (że to jest nieujemne, to jest kwestia deifnicji miary Lebesgue'a, którą można rozumieć jako pewne uogólnienie pojęcia długości odcinka, choć to może zbyt mgliste). Wobec tego oczywiści \(\displaystyle{ \mathbf{P}(A) \ge 0}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ A\in B(\RR)}\).
Pozostaje warunek przeliczalnej addytywności. Myślę, że można się powołać na to, że miara Lebesgue'a jest przeliczalnie addytywna. Spróbuj sam, bo to jest trochę pisania, a raczej oczywistych rzeczy, możesz rozważyć przypadki w stylu do żadnego ze zbiorów, których sumę rozważasz nie należy \(\displaystyle{ -1}\) ani \(\displaystyle{ 2}\), do dokładnie jednego nalezą obie te liczby, tylko jedna nalezy do jednego ze zbiorów, itp. Nic mądrego. Bo przeliczalna addytywność miary Lebesgue'a wynika z jej konstrukcji, i nie sądzę, by ktoś wymagał od Ciebie jej powtarzania.
A nad dystyrbuantą sam pomyśl, to będzie dystrybuanta takiej mieszanki rozkładów:
jednostajnego na \(\displaystyle{ [0,1)}\) i jednopunktowych skupionych w \(\displaystyle{ -1}\) i \(\displaystyle{ 2}\).
Z odpowiednimi wagami oczywiście. Generalnie jeśli zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład jednopunktowy skupiony w \(\displaystyle{ -1}\), \(\displaystyle{ Y}\) ma rozkład jednopunktowy skupiony w \(\displaystyle{ 2}\), zaś \(\displaystyle{ Z}\) ma rozkład jednostajny na \(\displaystyle{ [0,1)}\), to Twój rozkład odpowiada rozkładowi zmiennej losowej
\(\displaystyle{ W=\frac 1 2X+\frac 1 6 Y+\frac 1 3Z}\) Tak się zastanawiam, czy nie można tego od razu "zauważyć" i nie babrać się wobec tego z tym nudnym rozpisywaniem przeliczalnej addytywności.
Te kreseczki należy pewnie rozumieć jako miarę Lebesgue'a na prostej, przynajmniej przy tym założeniu działa (gdyby rozumieć to jako moc zbioru, to by eksplodowało gnieniegdzie do \(\displaystyle{ \infty}\), więc bez sensu).
No to u nas \(\displaystyle{ \Omega=\RR}\) i faktycznie sprawdźmy: oczywiście \(\displaystyle{ -1\in \RR}\) i \(\displaystyle{ 2 \in \RR}\), ponadto miara Lebesgue'a \(\displaystyle{ \RR \cap [0,1)}\), czyli \(\displaystyle{ [0,1)}\) jest równa \(\displaystyle{ 1}\), więc
\(\displaystyle{ \mathbf{P}(\RR)=\frac 1 3|[0,1]|+\frac 2 3=1}\), a więc
OK, jest \(\displaystyle{ \mathbf{P}(\Omega)=1}\)
Teraz tak: dla dowolnego \(\displaystyle{ A \in B(\RR)}\) mamy
\(\displaystyle{ A \cap [0,1) \in B(\RR)}\), bo jest to przekrój zbiorów borelowskich, no i oczywiście wtedy istnieje \(\displaystyle{ |A \cap [0,1)| \ge 0}\) (że to jest nieujemne, to jest kwestia deifnicji miary Lebesgue'a, którą można rozumieć jako pewne uogólnienie pojęcia długości odcinka, choć to może zbyt mgliste). Wobec tego oczywiści \(\displaystyle{ \mathbf{P}(A) \ge 0}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ A\in B(\RR)}\).
Pozostaje warunek przeliczalnej addytywności. Myślę, że można się powołać na to, że miara Lebesgue'a jest przeliczalnie addytywna. Spróbuj sam, bo to jest trochę pisania, a raczej oczywistych rzeczy, możesz rozważyć przypadki w stylu do żadnego ze zbiorów, których sumę rozważasz nie należy \(\displaystyle{ -1}\) ani \(\displaystyle{ 2}\), do dokładnie jednego nalezą obie te liczby, tylko jedna nalezy do jednego ze zbiorów, itp. Nic mądrego. Bo przeliczalna addytywność miary Lebesgue'a wynika z jej konstrukcji, i nie sądzę, by ktoś wymagał od Ciebie jej powtarzania.
A nad dystyrbuantą sam pomyśl, to będzie dystrybuanta takiej mieszanki rozkładów:
jednostajnego na \(\displaystyle{ [0,1)}\) i jednopunktowych skupionych w \(\displaystyle{ -1}\) i \(\displaystyle{ 2}\).
Z odpowiednimi wagami oczywiście. Generalnie jeśli zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład jednopunktowy skupiony w \(\displaystyle{ -1}\), \(\displaystyle{ Y}\) ma rozkład jednopunktowy skupiony w \(\displaystyle{ 2}\), zaś \(\displaystyle{ Z}\) ma rozkład jednostajny na \(\displaystyle{ [0,1)}\), to Twój rozkład odpowiada rozkładowi zmiennej losowej
\(\displaystyle{ W=\frac 1 2X+\frac 1 6 Y+\frac 1 3Z}\) Tak się zastanawiam, czy nie można tego od razu "zauważyć" i nie babrać się wobec tego z tym nudnym rozpisywaniem przeliczalnej addytywności.