Losowo wybrany punkt X z odcinka AB

[somas3k]

Zadanie:
Punkt X został losowo wybrany z odcinka AB. Pokaż, że prawdopodobieństwo, że iloraz \(\displaystyle{ \frac{AX}{BX}}\) jest mniejszy niż a (a>0) jest równe \(\displaystyle{ \frac{a}{1+a}}\).

Mam to zadanie w prawdopodobieństwie geometrycznym. Probowałem to zrobić ale mi nie wyszło.
Przyjąłem sobie, że koniec A tego odcinka leży w (0,0) a B w (b,0). X to jakiś punkt na osi OX między 0 a b. Z tego wyszło mi, że \(\displaystyle{ \frac{AX}{BX}=\frac{x}{b-x}}\). Nierówność z zadania w takim przedstawieniu to \(\displaystyle{ \frac{x}{b-x}<a}\). Moim pomysłem na rozwiązanie było policzenie pola między \(\displaystyle{ a}\) a \(\displaystyle{ \frac{x}{b-x}}\) i podzieleniu przez \(\displaystyle{ ab}\), lecz po policzeniu nie jest to równe temu co jest podane w treści zadania. Zastanawiam się nad poprawnością \(\displaystyle{ \Omega}\), nie mam innego pomysłu w tej chwili co mogłoby nią być. Pomożecie?

[Premislav]

Bez zmniejszenia ogólności \(\displaystyle{ AB=[0,1]}\) (bo odcinek sobie można przeskalować).
Niech \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład jednostajny na \(\displaystyle{ [0,1]}\) (tak należy rozumieć "został losowo wybrany"). Rozważamy zmienną losową
\(\displaystyle{ Y= \frac{X}{1-X}}\)
Z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ 1}\) jest \(\displaystyle{ 1-X>0}\). Niech \(\displaystyle{ a>0}\).
Zatem mamy
\(\displaystyle{ \mathbf{P}(Y \le a)=\mathbf{P}\left( X \le a(1-X)\right)=\\=\mathbf{P}\left( X \le \frac{a}{1+a} \right)=\frac{a}{1+a}}\)
(patrz dystrybuanta rozkładu jednostajnego).
Pozostaje zauważyć, że \(\displaystyle{ \mathbf{P}\left( X=\frac{a}{1+a}\right) =0}\) dla ustalonego \(\displaystyle{ a>0}\) (no bo mamy rozkład jednostajny na \(\displaystyle{ [0,1]}\), czyli w szczególności jest to rozkład ciągły), stąd
\(\displaystyle{ \mathbf{P}\left( X < \frac{a}{1+a} \right)=\mathbf{P}\left( X \le \frac{a}{1+a} \right)
=\frac{a}{1+a}}\)

[somas3k]

Bez zmniejszenia ogólności \(\displaystyle{ AB=[0,1]}\) (bo odcinek sobie można przeskalować).
Niech \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład jednostajny na \(\displaystyle{ [0,1]}\) (tak należy rozumieć "został losowo wybrany"). Rozważamy zmienną losową
\(\displaystyle{ Y= \frac{X}{1-X}}\)
Z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ 1}\) jest \(\displaystyle{ 1-X>0}\). Niech \(\displaystyle{ a>0}\).
Zatem mamy
\(\displaystyle{ \mathbf{P}(Y \le a)=\mathbf{P}\left( X \le a(1-X)\right)=\\=\mathbf{P}\left( X \le \frac{a}{1+a} \right)=\frac{a}{1+a}}\)
(patrz dystrybuanta rozkładu jednostajnego).
Pozostaje zauważyć, że \(\displaystyle{ \mathbf{P}\left( X=\frac{a}{1+a}\right) =0}\) dla ustalonego \(\displaystyle{ a>0}\) (no bo mamy rozkład jednostajny na \(\displaystyle{ [0,1]}\), czyli w szczególności jest to rozkład ciągły), stąd
\(\displaystyle{ \mathbf{P}\left( X < \frac{a}{1+a} \right)=\mathbf{P}\left( X \le \frac{a}{1+a} \right)
=\frac{a}{1+a}}\)

Tak też potrafię zrobić ale ciekawi mnie, czy da się to prawdopodobieństwem geometrycznym zrobić bo w sumie w tym dziale to jest.

[Premislav]

Ja geometrii nienawidzę z całego serca i mam na nią uczulenie, więc sorry, w takim razie wiele nie pomogę.

[somas3k]

A powiedz mi jeszcze co stało się tutaj:
\(\displaystyle{ \mathbf{P}\left( X \le a(1-X)\right)=\\=\mathbf{P}\left( X \le \frac{a}{1+a} \right)=\frac{a}{1+a}}\)

[Premislav]

Cierpliwie poprzenosiłem na drugą stronę nierówności:
\(\displaystyle{ X \le a(1-X) \Leftrightarrow X \le a-aX \Leftrightarrow X(1+a)\le a \Leftrightarrow X \le \frac{a}{1+a}}\)
ponieważ \(\displaystyle{ a>0}\).
No i jeśli \(\displaystyle{ a>0}\), to \(\displaystyle{ \frac{a}{1+a}\in [0,1]}\), więc skoro przyjęliśmy, że \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład jednostajny na \(\displaystyle{ [0,1]}\), to
dla \(\displaystyle{ t \in [0,1]}\) jest \(\displaystyle{ \mathbf{P}(X\le t)=t}\) (tutaj oczywiście \(\displaystyle{ t=\frac{a}{1+a}}\)).