Typowe losowanie

[mol_ksiazkowy]

W urnie jest \(\displaystyle{ k}\) kul ponumerowanych różnymi liczbami ze zbioru \(\displaystyle{ \{1,…, k \}}\). Losuje się kule ze zwracaniem, aż każda z nich będzie wylosowaną. Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie zmienną losowa określającą ilość losowań. Obliczyć \(\displaystyle{ E(X)}\).

[Premislav]

Ale to już było i nie wróci więcej
I choć tyle się zdarzyło, to do przodu
Wciąż wyrywa głupie serce
416047.htm

PS Nie ilość losowań, tylko liczba losowań, do jasnej anielki!

[Igor V]

First Strike
Mi to trochę inaczej wychodzi.
Niech \(\displaystyle{ X = \sum_{i=1}^{k}X_i}\), gdzie \(\displaystyle{ X_i}\) jest liczbą losowań potrzebną do otrzymania pewnego, \(\displaystyle{ i}\)-tego wyniku różnego od już wylosowanych.
Wtedy \(\displaystyle{ X_1 = 1 \wedge P(X_1 = 1) = 1 \Rightarrow E(X_1) = 1}\)
Dalej widzimy że jak wylosowaliśmy już jedną liczbę, to musimy czekać dopóki nie wylosujemy jednej z \(\displaystyle{ k - 1}\) pozostałych, przy czym prawdopodobieństwo sukcesu się nie zmienia. Podobnie jak wylosowaliśmy już ich większą ilość. Więc mamy rozkłady geometryczne z prawdopodobieństwami sukcesu :
\(\displaystyle{ p_{i+1} = \frac{k - i}{k}, \ i\in\{1,2,\dots ,k-1\}}\)
i wartościami oczekiwanymi \(\displaystyle{ EX_i = \frac{1}{p}, \ i > 1}\)
Korzystając z liniowości wartości oczekiwanej mamy : \(\displaystyle{ E(X) = 1 + \sum_{i=1}^{k - 1} \frac{k}{k - i}}\)