Dowód równoważności zbieżności

[matt950806]

Witam, mam takie zadanie, którego nie jestem w stanie rozwiązać i byłbym wdzięczny zapomoc. Oto ono:
Wykazac ze jesli P jest rozkladem dyskretnym to dla zmiennych losowych okreslonych na przestrzeni probabilistycznej \(\displaystyle{ \left(\Omega,\mathcak{B},P \right)}\) zachodzi rownowaznosc: \(\displaystyle{ X_{n} \xrightarrow{pp} X \Leftrightarrow X_{n} \xrightarrow{p} X}\) gdzie \(\displaystyle{ p}\) oznacza zbieznosc wedlug prawdopodobienstwa, a \(\displaystyle{ pp}\) zbieznosc z prawdopodobienstwem \(\displaystyle{ 1}\)

[leg14]

P nie jest rozkladem, tylko miara probabilistyczna. I nie jest ona "dyskretna", tylko przestrzen probabilistyczna jest dyskretna, czyli omega ma przeliczalnie wiele elementow i sigma cialo jest zbiorem potegowym. Uzbrojony w te nowa informavje
sprobuj udowdnic implikacje \(\displaystyle{ \Rightarrow}\) . Proponuje przez zaprzeczenie

[matt950806]

Otóż P jest dyskretnym rozkładem prawdopodobieństwa ... %C5%84stwa W stronę, którą pokazałeś, dowód faktycznie jest prosty. Moje pytanie odnosi się do implikacji w stronę przeciwną.

[leg14]

To czego według Ciebie P jest rozkładem, której ze zmiennych? Uwierz, że chodzi o to, że \(\displaystyle{ \Omega}\) jest dyskretną przestrzenią probabilistyczną, inaczej zadanie nie jest prawdziwe. (zakładam, że zbieznosc z prawdopodobienstwiem 1 to zbieznosc prawie na pewno).

W stronę, którą pokazałeś, dowód faktycznie jest prosty. Moje pytanie odnosi się do implikacji w stronę przeciwną.

Racja, chodziło mi o stronę przeciwną .
Załóż, że Omega jest dyskretna i spróbuj udowodnić to przez zaprzeczenie.

[janusz47]

Na przykład patrz

Robert J. Serfing. Twierdzenia graniczne statystyki matematycznej . PWN Warszawa 1991.

[matt950806]

Nie mogę nigdzie znaleźć tej książki. Byłbym bardzo wdzięczny, jeśli podałbyś ideę tego dowodu.

[janusz47]

Rozpatrujemy różnicę

\(\displaystyle{ Y_{n} = X_{n} - X}\) i pokazujemy, że \(\displaystyle{ Y_{n}}\) dąży do zera.

Możemy w tym celu skorzystać z lematu

Lemat
Następujące warunki są równoważne
a) \(\displaystyle{ Y_{n}\rightarrow 0 pp}\)

b) dla każdego \(\displaystyle{ \epsilon >0}\)

\(\displaystyle{ \lim_{k\to \infty} P\left( \bigcup_{n=k}^{\infty} \left\{ \omega:|Y_{n}(\omega)|\geq \epsilon\right\}\right) =0.}\)

[matt950806]

Udało się, dzięki wielkie!