Wartość oczekiwana wyrażenia

[koralik]

Cześć, jak policzyć wartość oczekiwaną wyrażenia \(\displaystyle{ \frac{1}{X_{1}+...+X_{n}}}\), gdzie \(\displaystyle{ X_{i}}\) są zmiennymi losowymi o rozkładzie wykładniczym z parametrem \(\displaystyle{ \alpha}\)? Wiem, że suma tych zmiennych będzie miała rozkład Gamma, ale to też nie pomaga mi przejść dalej. Bawić się w rachunki tzn. scałkować to wyrażenie przemnożone przez gęstość?

[Takahashi]

Czy wartość oczekiwana istnieje?

[Premislav]

Czy \(\displaystyle{ X_i}\) są niezależne?
Jeżeli tak, to \(\displaystyle{ X_1+\ldots+X_n}\) ma istotnie rozkład gamma z parametrami \(\displaystyle{ n, \alpha}\), więc można skorzystać z następującego faktu:
niech \(\displaystyle{ \varphi}\) będzie funkcją borelowską, zaś \(\displaystyle{ X}\) - zmienną losową o rozkładzie ciągłym z gęstością \(\displaystyle{ f(x)}\). Wówczas jeśli istnieje wartość oczekiwana
\(\displaystyle{ \mathbf{E}[\varphi(X)]}\), to
\(\displaystyle{ \mathbf{E}[\varphi(X)]= \int_{\RR}^{}\varphi(x)f(x) \,\dd x}\)
Czyli masz obliczyć
\(\displaystyle{ \int_{0}^{+\infty}\frac 1 x \cdot \frac{\alpha^n}{\Gamma(n)}x^{n-1}e^{-\alpha x}\,\dd x}\)
Łatwo widać tu, że musi być \(\displaystyle{ n\ge 2}\), by ta wartość oczekiwana istniała.
Przyjemnych rachunków, w razie problemów napisz. Jest też gotowy wzór na wartość oczekiwaną w rozkładzie gamma, ale ja go nigdy nie pamiętam.