Oblicz prawdopodobieństwo, że student uzyska wynik 50%...

[s147698]

Student opanował 60% materiału (zna odpowiedź na 60% pytań). Jakie jest prawdopodobieństwo, że zdobędzie dokładnie wymagane 50% punktów do zaliczenia na teście składającym się z 10 pytań (za każde 1 punkt)?

[Pakro]

Niech \(\displaystyle{ X_1, \ldots, X_{10}}\) będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie:
\(\displaystyle{ P(X_i=1)=0,6}\), \(\displaystyle{ P(X_i=0)=0,4}\).
Rozważamy zmienną losową \(\displaystyle{ X=X_1 + \ldots X_{10}}\). Ma ona rozkład dwumianowy z \(\displaystyle{ p=0,6}\) oraz \(\displaystyle{ n=10}\). Zatem:
\(\displaystyle{ P(X=5)=\binom{10}{5}\cdot 0,6^5\cdot 0,4^5}\).
Jest to wymagana prawdopodobieństwo.

[Janusz Tracz]

Ze schematu Bernoulliego powinno zadziałać. Interesuje nas \(\displaystyle{ 5}\) sukcesów w \(\displaystyle{ 10}\) próbach przy prawdopodobieństwie \(\displaystyle{ \frac{6}{10}}\) sukcesu

\(\displaystyle{ P_{10}(5)= {10 \choose 5} \cdot \left( \frac{6}{10} \right)^5 \cdot \left( 1- \frac{6}{10} \right)^{10-5}={10 \choose 5} \cdot \left( \frac{6}{10} \right)^5 \cdot \left(\frac{4}{10} \right)^{5} \approx 20 \%}\)

[a4karo]

W teście pytania nie powtarzają się, więc Bernoulli słabo zadziała. Odpowiedx zależy od liczebności puli pytań, z której ukłąda sie test.

Jeżeli np. w puli pytań jest tylko 10 pytań, a student zna odpowiedz na 6, to szansa na dokładnie 5 poprawnych odpowiedzi jest zerowa