Zrozumienie pojęcia czasu zatrzymania

[elbargetni]

Nie mogę do końca zrozumieć czym jest dokładnie czas zatrzymania, a tym samym, które zmienne losowe nim są, a które nie. Przejrzałem kilka wątków na ten temat i nadal temat jest dla mnie trudny.

Definicja czasu zatrzymania mówi, że jest nim zmienna losowa \(\displaystyle{ \tau: \Omega \rightarrow \{0, 1,
..., \infty\}}\), która spełnia następujący warunek:
\(\displaystyle{ \{\tau \leq n \} \in \mathcal{F}_n}\)

Nie ukrywam, że nie wiem jak interpretować ten warunek i jakie dodatkowe informacje niesie dla zmiennej losowej. Pojęcie sigma ciała też jest dla mnie dość abstrakcyjne.

I teraz przykładem czasu zatrzymania jest na przykład taka zmienna losowa: \(\displaystyle{ \inf\{t\geq 0: X_t >x\}}\), czyli pierwszy moment, dla którego proces \(\displaystyle{ X_t}\) przekroczy pewną granicę \(\displaystyle{ x}\). Tłumaczono mi, że jest to czas zatrzymania, ponieważ patrząc na przeszłość procesu z dowolnego punktu t jesteśmy w stanie ocenić pierwszy moment, gdy przekroczył on pewną barierę.
Natomiast zmienna losowa zdefiniowana tak: \(\displaystyle{ \sup\{t\geq 0: X_t >x\}}\) już czasem zatrzymania nie jest. Ale jeśli ma mnie interesować tylko przeszłość procesu do czasu t, to też jestem w stanie zidentyfikować ostatni punkt, w którym proces przekroczył barierę, nie rozumiem zatem, dlaczego to czasem zatrzymania nie jest.

Byłbym bardzo wdzięczny, gdyby ktoś rozwiał wiele moich wątpliwości w tej kwestii.

[Takahashi]

Nie jesteś w stanie zidentyfikować tego punktu. Żeby mieć pewność, iż osiągnąłeś już po raz ostatni pewną barierę, musisz znać całą przyszłość.

[elbargetni]

Wracając do przykładu \(\displaystyle{ \inf\{t\geq 0: X_t >x\}}\) to jeśli w chwili t obserwuję przeszłość, a pierwszy punkt, w którym przekroczę granicę będzie po chwili t, w której się obecnie znajduję, to również muszę znać przyszłość żeby stwierdzić, kiedy to infimum nastąpiło.

[Takahashi]

W każdej chwili \(\displaystyle{ t}\) wiesz, co wydarzyło się w odcinku czasu \(\displaystyle{ [0, t]}\), zatem jesteś w stanie określić, czy coś już się wydarzyło, czy nie. Nie musisz wiedzieć, kiedy dokładnie.