Znaleźć gęstość

[Benny01]

Przez punkt \(\displaystyle{ (0,l)}\) poprowadzono prostą w losowo wybranym kierunku. Znaleźć gęstość rozkładu odciętej punktu przecięcia tej prostej z osią \(\displaystyle{ OX}\).

[Premislav]

Wskazówka: w kartezjańskim układzie współrzędnych współczynnik kierunkowy prostej, która nie jest prostopadła do osi \(\displaystyle{ OX}\) jest równy tangensowi kąta nachylenia tej prostej do osi \(\displaystyle{ OX}\).
Ten kąt to będzie zmienna losowa o rozkładzie jednostajnym na pewnym odcinku (jakim?), no i dalej mając równanie prostej wylicz odciętą jej punktu przecięcia z osią \(\displaystyle{ OX}\), i dostajesz zmienną losową (tę odciętą) będącą funkcją tego kąta nachylenia. Pewnie najprościej znaleźć jej dystrybuantę, jeżeli ktoś nie pamięta gotowych wzorków na gęstość funkcji od zmiennej losowej (ja nie pamiętam).

[Benny01]

\(\displaystyle{ x= \begin{cases} \frac{-l}{\tg \alpha } \ dla \ \alpha \in (0,\frac{ \pi }{2}) \\ \frac{l}{\tg \alpha } \ dla \ \alpha \in (\frac{ \pi }{2}, \pi ) \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ F(x)= \begin{cases} \alpha \in (0,\frac{ \pi }{2}) \ \ P(X<x)=P(\frac{-l}{\tg \alpha }<x)=1-P( \alpha < \arctg \frac{-l}{x})=1-\arctg \frac{-l}{x} \cdot \frac{2}{\pi}\\ \alpha \in (\frac{ \pi }{2}, \pi ) \ \ P(X<x)=P(\frac{l}{\tg \alpha }<x)=\arctg \frac{l}{x} \cdot \frac{2}{\pi} \end{cases}}\)

Czy tak jest ok?

-- 10 sie 2017, o 21:39 --

Poszukałem trochę i znalazłem. To wyżej jest źle, \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład Cauchy'ego.