Na odcinku \(\displaystyle{ [0,1]}\) losujemy punkt zgodnie z rozkładem jednostajnym, dzieląc ten odcinek na dwa pododcinki o długościach różnych z prawdopodobieństwem jeden. Obliczyć wartość oczekiwaną stosunku długości odcinka krótszego do długości odcinka dłuższego.
\(\displaystyle{ E(\frac{X}{1-X}|X<\frac{1}{2})+E(\frac{1-X}{X}|X>\frac{1}{2})= 2[ \int_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{x^2}{1-x}dx+ \int_{\frac{1}{2}}^{1}(1-x)dx]}\)
Czy to jest ok?
Wartość oczekiwana
-
Takahashi
- Użytkownik
- Posty: 186
- Rejestracja: 12 maja 2017, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: brak
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 22 razy
Re: Wartość oczekiwana
Jeżeli \(\displaystyle{ g(x)}\) jest mierzalną funkcją, zaś \(\displaystyle{ X}\) zmienną losową o gęstości \(\displaystyle{ f(x)}\), to
\(\displaystyle{ \mathbb E[g(X)] = \int_{-\infty}^\infty f(x) g(x) \,dx}\),
co w naszym przypadku sprowadza się do
\(\displaystyle{ \int_0^1 \min \left\{\frac{x}{1-x}, \frac{1-x}{x}\right\} \,dx = 2 \int_0^{1/2} \frac{x \, dx}{1-x} = \ldots}\)
\(\displaystyle{ \mathbb E[g(X)] = \int_{-\infty}^\infty f(x) g(x) \,dx}\),
co w naszym przypadku sprowadza się do
\(\displaystyle{ \int_0^1 \min \left\{\frac{x}{1-x}, \frac{1-x}{x}\right\} \,dx = 2 \int_0^{1/2} \frac{x \, dx}{1-x} = \ldots}\)
Ostatnio zmieniony 4 sie 2017, o 20:58 przez Takahashi, łącznie zmieniany 1 raz.