Rozkład jednostajny, prawdop. wartości funkcji.

[sirostr]

Zmienne losowe \(\displaystyle{ X_{1}}\) i \(\displaystyle{ X_{2}}\) są zmiennymi o rozkładzie jednostajnym w przedziale \(\displaystyle{ [-8;8]}\).
Jakie jest prawdopodobieństwo, że \(\displaystyle{ g(x_{1},x_{2}) = 8- \frac{1}{2}x_{1}+x_{2}<0}\) ?

Moje rozwiązanie wygląda tak:
Ograniczamy zakres \(\displaystyle{ x_{2}}\):
\(\displaystyle{ x_{2}< \frac{1}{2}x_{1}-8}\)

\(\displaystyle{ P = \int_{x_{1}=- \infty }^{x_{1}= \infty} \int_{x_{2}=- \infty }^{x_{2}= \frac{1}{2}x_{1}-8 } f_{x_{2}}(x_{2})dx_{2} f_{x_{1}}(x_{1})dx_{1}}\)

Gdzie
\(\displaystyle{ \int_{x_{2}=- \infty }^{x_{2}= \frac{1}{2}x_{1}-8 } f_{x_{2}}(x_{2})dx_{2}=F_{x_{2}}( \frac{1}{2}x_{1}-8 } )= \frac{\frac{1}{2}x_{1}-8-(-8)}{8-(-8)}= \frac{1}{32}x_{1}}\)

A więc
\(\displaystyle{ P = \int_{x_{1}=- \infty }^{x_{1}= \infty}\frac{1}{32}x_{1}f_{x_{1}}(x_{1})dx_{1}
=\frac{1}{32} E(X_{1})=\frac{1}{32} * \frac{-8+8}{2}=0}\)

Jednak wiem, że wynik powinien wynosić \(\displaystyle{ \frac{1}{16}}\). Czy ktoś mógłby wskazać gdzie robię błąd?

[janusz47]

Funkcja gęstości łączna ( wektora losowego )\(\displaystyle{ g}\) czy jednej zmiennej losowej przyjmuje tylko wartości nieujemne.

Stąd

\(\displaystyle{ Pr( \left\{g(x_{1}, x_{2}<0 \right\}) = 0}\)

Wartość tego prawdopodobieństwa należy sprawdzić w kwadracie \(\displaystyle{ [-8, 8]\times [-8, 8].}\)

\(\displaystyle{ Pr( \left\{g(x_{1}, x_{2}<0 \right\})= \int_{-8}^{8}\int_{-8}^{\frac{1}{2}x_{1}-8}dx_{2}dx_{1} = ...=0.}\)