Kilka zadań

[Matiks21]

Hej,

Mam parę zadań z którymi mam problem, proszę o wskazówki

1) Oblicz prawdopodobieństwo tego, że pierwiastki równania \(\displaystyle{ \displaystyle x^2 + px + q}\) są rzeczywiste, wiedząc, że \(\displaystyle{ \displaystyle p}\) oraz \(\displaystyle{ \displaystyle q}\) są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie jednostajnym na odcinku \(\displaystyle{ \displaystyle (-1,1)}\).

2)Wykaż, że zmienna losowa \(\displaystyle{ \displaystyle \frac{\xi}{\xi + \eta}}\) ma rozkład jednostajny na przedziale \(\displaystyle{ \displaystyle (0,1)}\), o ile \(\displaystyle{ \displaystyle \xi}\) oraz \(\displaystyle{ \displaystyle \eta}\) mają taki sam rozkład wykładniczy i są niezależne.

3) Dla grupy \(\displaystyle{ \displaystyle n}\) osób znajdź oczekiwaną liczbę dni, które są dniami urodzin tych osób.

[janusz47]

Zdanie 1

Równanie kwadratowe ma dwa pierwiastki rzeczywiste, gdy jego wyróżnik \(\displaystyle{ \Delta \geq 0.}\)

\(\displaystyle{ b^2 - 4ac \geq 0.}\)

Jeśli \(\displaystyle{ B}\) jest zmienną losową o rozkładzie jednostajnym i \(\displaystyle{ X = B^2}\) wtedy rozkład zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\)

\(\displaystyle{ P(\left\{ X \leq t\right\} ) = P\left( \left\{B \leq \sqrt{t}\right\}\right)}\)

Funkcja gęstości tej zmiennej losowej

\(\displaystyle{ f_{X}(t) = \frac{\set{1}_{[0,1]}}{2\sqrt{x}}}\) (1)

Podobnie, jeśli \(\displaystyle{ A, \ \ C}\) są zmiennymi losowymi niezależnymi o rozkładzie jednostajnym na odcinku \(\displaystyle{ [0, 1 ]}\) i zmienna losowa \(\displaystyle{ Y = A\cdot C}\) to

\(\displaystyle{ P(\left\{Y \leq t\right\} ) = \int_{0}^{1}P \left( \left\{C \leq \frac{t}{u}\right\right\})du = \int_{0}^{1} min\left( 1, \frac{t}{u}\right) du = t - t\ln(t).}\)

Stąd

\(\displaystyle{ f_{Y}(y) = \set{-1}_{[0,1]}(y) \ln(y)}\) (2)

Na podstawie (1) i (2)

\(\displaystyle{ P\left(\left\{B^2 \geq 4AC\right\}\right) = \int_{0}^{1}\frac{1}{2\sqrt{x}} \int_{0}^{\frac{x}{4}}- \ln(y)dy dx = \frac{5 + 6\ln(2)}{36} \approx 0,2544134.}\)

[RafalMajewskiPL]

3.
Jak można się dowiedzieć na Wikipedii rok trwa 365 dni 5 godzin i 48 minut ( \(\displaystyle{ \frac{43829}{120} dni=365.241(6) dni}\) ).
\(\displaystyle{ f(n)}\) to oczekiwana ilość dni dla \(\displaystyle{ n}\) osób.

Na początku zauważyłem następujące własności:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}f(n)=\frac{43829}{120}}\)
\(\displaystyle{ f(1)=1}\)
\(\displaystyle{ 1<f(2)<2}\), bo jest mała szansa że dwie osoby mają urodziny w tym samym dniu.

Nie wiem co dalej robić, ale pomyślę.

[janusz47]

Zadanie 3

\(\displaystyle{ P(\overline{X_{1}}) = \frac{1}{n}.}\)

\(\displaystyle{ P(X_{1}) = 1 - \frac{1}{n}.}\)

\(\displaystyle{ P(\overline{X_{n-1}}) = \left( 1 -\frac{1}{n}\right)^{n-1}}\)

\(\displaystyle{ E( \overline{X_{n-1}}) = n\left( 1 -\frac{1}{n}\right)^{n-1}}\)

\(\displaystyle{ E( X_{n-1}) = n\left[ 1 - \left(1 -\frac{1}{n}\right)^{n-1}\right].}\)

[Takahashi]

Zapewne źle, ponieważ rozwiązanie powinno zależeć od liczby dni w roku. Abstrachując od tego, operator \(\displaystyle{ \mathbb E}\) działa na zmiennych losowych, natomiast \(\displaystyle{ \mathbb P}\) - na zbiorach mierzalnych, więc coś tu jest nie tak.

[a4karo]

A tego pierwszego to z prawdopodobieństwa geometrycznego się nie robi?

Ad 3: szansa na to, że dwie osoby maja urodziny tego samego dnia już przy \(\displaystyle{ n>23}\) jest większa niż \(\displaystyle{ 1/2}\)

[janusz47]

Zadanie 3

Z założenia

\(\displaystyle{ \xi \sim \lambda e^{-\lambda x}.}\)

\(\displaystyle{ \eta \sim \mu e^{-\mu x}.}\)

Niech \(\displaystyle{ s = x+y, \ \ r = \frac{x}{x+y} = \frac{x}{s}.}\)

Przekształcenie odwrotne:

\(\displaystyle{ x = rs, \ \ y = (1- r)s.}\)

\(\displaystyle{ J(r, s) = \left\left|\begin{matrix} s & -s \\ r & (1-r)\end{matrix} \right| = s.}\)

\(\displaystyle{ f_{R}(r) = \int_{0}^{\infty}f_{(R,S)}(r, s)ds = \int_{0}^{\infty}f_{(X,Y)}(rs, (1-r)s)ds = \int_{0}^{\infty} \lambda e^{-\lambda r s}\mu e^{-\mu(1- r)s} s ds = \frac{\lambda \cdot \mu}{[\lambda r + \mu(1-r)]^2} = \frac{1}{\frac{\mu}{\lambda}- r\left(\frac{\mu}{\lambda}-1\right)} \cdot \frac{1}{1 - r\left(1 - \frac{\lambda}{\mu}\right)}, \ \ 0 \leq r \leq 1.}\)

c.b.d.o.

[Premislav]

Zadanie drugie:
oczywiście z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ 1}\) mamy
\(\displaystyle{ \displaystyle \frac{\xi}{\xi + \eta}\in (0,1)}\), gdy \(\displaystyle{ \xi}\) i \(\displaystyle{ \eta}\) są jak w treści zadania. Niechajże \(\displaystyle{ t \in (0,1)}\) i niech \(\displaystyle{ \lambda \in \RR^+}\) - wspólny parametr zmiennych losowych \(\displaystyle{ \xi}\) i \(\displaystyle{ \eta}\). Wówczas:
\(\displaystyle{ \mathbf{P}\left( \frac{\xi}{\xi + \eta}\le t\right)= \int_{0}^{+\infty} \int_{0}^{+\infty}\mathbf{1}\left( \frac{x}{x + y}\le t \right)\lambda^2 e^{-\lambda x}e^{-\lambda y} \,\dd x \,\dd y=\\= \int_{0}^{+\infty} \int_{0}^{+\infty}\mathbf{1}\left( x \le \frac{ty}{1-t} \right)\lambda^2 e^{-\lambda x}e^{-\lambda y} \,\dd x \,\dd y=\\= \int_{0}^{+\infty}\lambda \ e^{-\lambda y}\,\dd y \int_{0}^{ \frac{ty}{1-t} }\lambda e^{-\lambda x} \,\dd x=\\= \int_{0}^{+\infty}\lambda \ e^{-\lambda y}\left( 1-e^{-\lambda \frac{ty}{1-t} }\right) \,\dd y=\\=1-(1-t) \int_{0}^{+\infty}\frac{\lambda}{1-t} \ e^{-\lambda \frac{y}{1-t} }\,\dd y=\\=1-(1-t)=t}\)
Zatem dystrybuanta zmiennej losowej \(\displaystyle{ \displaystyle \frac{\xi}{\xi + \eta}}\) to dystrybuanta
zmiennej o rozkładzie jednostajnym na odcinku \(\displaystyle{ (0,1)}\), co kończy dowód.

Jak coś trzeba wyjaśnić, to ewentualnie dopiszę.
Pozdrawiam.

[janusz47]

Dla zmiennych losowych \(\displaystyle{ X = Y \sim \lambda e ^{-\lambda x}, \ \ \lambda >0.}\)

[Premislav]

Co proszę? To, że zmienne losowe mają taki sam rozkład, nie znaczy, że są równe.
Skorzystałem tu z założenia o tym, że zmienne losowe \(\displaystyle{ \xi}\) i \(\displaystyle{ \eta}\) mają taki sam rozkład wykładniczy i są niezależne. Wówczas wektor losowy \(\displaystyle{ (\xi, \eta)}\) ma gęstość łączną
\(\displaystyle{ f_{\xi, \eta}(x,y)=\mathbf{1}_{(0,+\infty)}(x)\mathbf{1}_{(0,+\infty)}(y)\lambda^2 \ e^{-\lambda(x+y)}}\)
oraz dla dowolnej funkcji mierzalnej \(\displaystyle{ \varphi: \RR^2 \rightarrow \RR}\) mamy
\(\displaystyle{ \mathbf{E}\left[ \varphi(\xi, \eta)\right] = \int_{\RR^2}^{} \varphi(x,y)f_{\xi, \eta}(x,y)}\)
Tutaj \(\displaystyle{ \varphi(\xi, \eta)=\mathbf{1}\left( \frac{\xi}{\xi+\eta}\le t \right), \ t \in (0,1) - \text{ ustalone}}\)

[janusz47]

Skąd wiesz że mają taki sam parametr \(\displaystyle{ \ambda?}\)

[Premislav]

No przecież stąd:

mają taki sam rozkład wykładniczy

Jeżeli jedna zmienna losowa \(\displaystyle{ X_1}\) ma rozkład chociażby normalny \(\displaystyle{ mathcal{N}(0,1)}\), a druga, nazwijmy ją \(\displaystyle{ X_2}\), też normalny, ale z innymi parametrami, choćby \(\displaystyle{ mathcal{N}(1,2)}\), to nie powiemy, że zmienne losowe \(\displaystyle{ X_1}\) i \(\displaystyle{ X_2}\) mają taki sam rozkład.
Ale wydaje mi się, że to wszystko po trochu nieporozumienie językowe, nieco podobnie jak tutaj:
348841.htm
Tylko że tam to pewnie prowadzący nie umie się posługiwać językiem polskim lub autor wątku niestarannie przepisał treść zadania, a tutaj (w wątku, którego dotyczy nasza dyskusja) może nie było oczywiste, co znaczy "taki sam rozkład" (no dla mnie było, wiele razy spotykałem się z tym sformułowaniem i zawsze oznaczało ono to, co przyjąłem tutaj).-- 1 sie 2017, o 13:24 --Aha, ponadto nie chce mi się niestety sprawdzać Twojego rozwiązania, bo jest troszkę za ciepło, ale coś w nim musi być nie tak, skoro przyjmujesz, że parametry mogą być różne, gdyż bez założenia o tym samym rozkładzie (tj. z tym samym parametrem) teza nie zachodzi.

[Takahashi]

To nie jest takie proste

Ustalmy grupę \(\displaystyle{ n}\) osób. Szukamy wartości oczekiwanej zmiennej \(\displaystyle{ X_n}\), która zlicza różne dni, w które ktokolwiek obchodzi urodziny. Przyjmuje ona wartości \(\displaystyle{ k = 1, 2, \ldots, \min\{d, n\}}\) (\(\displaystyle{ d}\) to liczba dni w roku, u nas 365). Najpierw wybierzemy \(\displaystyle{ k}\) dni urodzin, a potem przypiszemy do nich konkretne osoby. W tym celu potrzebny będzie prosty lemat (patrz niżej).

\(\displaystyle{ P(X_n = k) = \frac{{d\choose k} \cdot \sum_{i = 0}^{k-1} (-1)^i {k \choose i} (k-i)^n}{d^n}.}\)

To teraz wystarczy wysumować...

\(\displaystyle{ \mathbb E[X_n] = \sum_{k = 1}^{\min} k P(X_n=k) = \sum_{k=1}^{\min} \frac{
k d!}{(d-k)! d^n} \begin{Bmatrix}n\\k\end{Bmatrix} = \frac{d!}{d^n} \cdot a_{n}}\),

tylko że ten wzór nie ma zwartej postaci (ciąg \(\displaystyle{ a_n}\) ma wykładniczą funkcję tworzącą, \(\displaystyle{ \exp (\exp x + 2 x - 1)}\)). Ach, no i wspomniany lemat.

Lemat. Rodzina surjekcji ze zbioru \(\displaystyle{ \{1, \ldots, m\}}\) na zbiór \(\displaystyle{ \{1, \ldots, n\}}\) (gdzie \(\displaystyle{ m \ge n}\)) ma moc

\(\displaystyle{ \sum_{i = 0}^{n-1} (-1)^i {n \choose i} (n-i)^m}\).

Szkic dowodu. Reguła włączeń i wyłączeń.

[janusz47]

\(\displaystyle{ F _{(\xi, \eta)}(t) = P\left( \left\{ \frac{\xi}{\xi +\eta} \leq t \right\}\right) = P \left(\left\{ (1-t)\xi \leq t\eta\right\}\right) = \int_{0}^{\infty}\lambda e^{-\lambda x}\int_{\frac{1-t}{t}x}^{\infty}\mu e^{-\mu y}dy dx = \int_{0}^{\infty}\lambda e^{-\lambda x}e ^{-\mu \frac{1-t}{t}x}dx = \frac{\lambda}{\lambda +\mu \frac{1-t}{t}} = \frac{t\lambda}{t\lambda + (1 -t)\mu}.}\)

Sprawdzenie
\(\displaystyle{ f_{(\xi, \eta)}(t) =F' _{(\xi, \eta)}(t) = \frac{\lambda[t\lambda +(1-t)\mu] - t\lambda (\lambda -\mu)}{[t\lambda + (1-t)\mu]^2} = \frac{\lambda^2 t +\lambda \mu -\lambda \mu t -\lambda^2 t +\lambda \mu t}{[t\lambda +(1-t)\mu ]^2} = \frac{\lambda \mu}{[t\lambda +(1-t)\mu ]^2}.}\)

-- 2 sie 2017, o 17:15 --
Zadanie 3

\(\displaystyle{ \xi_{i} = \begin{cases} 1 \ \ \mbox{w i -tym dniu obchodzi urodziny co najmniej jedna soba}\\
0 \ \mbox {w pozostałych przypadkach.} \ \ \end{cases}.}\)

\(\displaystyle{ X = \sum_{i=1}^{365}\xi_{i}.}\)

Z liniowości wartości oczekiwanej

\(\displaystyle{ E(X(n)) = \sum_{i=1}^{n}E(\xi_{i}).}\)

\(\displaystyle{ p_{i}}\)- prawdopodobieństwo zdarzenia " co najmniej jedna osoba urodziła się w \(\displaystyle{ i-tym}\) dniu".

\(\displaystyle{ p_{i} = 1 - \left(\frac{364}{365}\right)^{n}.}\)

\(\displaystyle{ E(X(n)) = 365\left( 1 -\left(\frac{364}{365}\right)^{n}\right).}\)

\(\displaystyle{ n = 2, \ \ E(X(2)) \approx 1,97260,}\)

\(\displaystyle{ n =50, \ \ E(X(50) \approx 46,7863607.}\)