Prawdopodobieństwo przy rzutach monetą

[somas3k]

Znaleźć prawdopodobieństwo, że przy przy 10 rzutach monety orzeł odsłoni się kolejno co najmniej 5 razy.

Było to już na forum lecz jest chyba źle rozwiązane
https://www.matematyka.pl/viewtopic.php?f=42&t=362687

\(\displaystyle{ \left( \Omega,2^{\Omega}, P\right),}\)
\(\displaystyle{ \Omega =\left\{ \omega:\omega=f:<1,2,3,...,10>\rightarrow <i_{1},i_{2},...,i_{k}>, i_{k}\in \left{O, R \right},k=1,2,...,10\right \}}\)
\(\displaystyle{ 2^{\Omega}}\)- klasa zdarzeń probabilizowalnych, łącznie ze zdarzeniami: niemożliwym i pewnym.
Rozkład prawdopodobieństwa na zbiorze \(\displaystyle{ \Omega}\)
\(\displaystyle{ Pr(\omega_{i})=\sum_{i=1}^{10}{10\choose i}\left( \frac{1}{2}\right)^{i}\left( \frac{1}{2}\right)^{10-i}.}\)

\(\displaystyle{ A}\) -zdarzenie "orzeł wypadnie co najmniej pięć razy"
\(\displaystyle{ Pr(A)=\sum_{i=5}^{10}{10\choose i}\left(\frac{1}{2}\right)^{i} \left(\frac{1}{2}\right)^{10-i}}\)

Jest tutaj napisane, że chodzi o zdarzenie, gdzie orzeł wypadnie co najmniej 5 razy a w zadaniu szukamy przypadków, gdzie orzeł wypadł kolejno conajmniej 5 razy, np \(\displaystyle{ OOROOOOORR}\)

Przy policzeniu tym wzorem zadania, gdzie szukamy prawdopodobieństwa wypadnięcia orła kolejno przynajmniej 3 razy w 5-krotnym rzucie monetą, wychodzi \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) a prawdziwy wynik to \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\)

Jesteście w stanie powiedzieć mi co zostało tutaj źle rozpatrzone albo czego brakuje?

Z góry dzięki za pomoc

[SlotaWoj]

I też podany przez Norwimaja równoważnik rozwiązania Janusza47 jest prawdziwy jedynie dla parzystej liczby rzutów.

Prawdopodobnie rozwiązanie Janusza47 uwzględnia szóstkę orłów jako szóstkę oraz jako piątkę poprzedzoną orłem i jako piątkę z następującym orłem, czyli trzykrotnie, etc. Powinno się wykluczać przypadki z orłami występujące bezpośrednio przed lub bezpośrednio po k-kach kolejnych orłów, przy \(\displaystyle{ k\in\{5;6;7;8;9\}}\).

... Zbudować dokładny model probabilistyczny.

Nie jest jest wykluczone, że to wymaganie wymusiło błędy w rozumowaniu Janusza47. Zamiast budować model, należało użyć „tępej siły”.

[somas3k]

I też podany przez Norwimaja równoważnik rozwiązania Janusza47 jest prawdziwy jedynie dla parzystej liczby rzutów.

Prawdopodobnie rozwiązanie Janusza47 uwzględnia szóstkę orłów jako szóstkę oraz jako piątkę poprzedzoną orłem i jako piątkę z następującym orłem, czyli trzykrotnie, etc. Powinno się wykluczać przypadki z orłami występujące bezpośrednio przed lub bezpośrednio po k-kach kolejnych orłów, przy \(\displaystyle{ k\in\{5;6;7;8;9\}}\).

... Zbudować dokładny model probabilistyczny.

Nie jest jest wykluczone, że to wymaganie wymusiło błędy w rozumowaniu Janusza47. Zamiast budować model, należało użyć „tępej siły”.

Dziękuję za udział w dyskusji lecz dalej nie widzę jak podejść do tego, jesteś w stanie pomóc?

//edit:
Już wiem jak to rozwiązać. Pominę liczność \(\displaystyle{ \Omega}\) i przejdę do pokazania przypadków.
Mianowicie:
Trzeba na to spojrzeć z 6 różnych przypadków w zależności od ustawienia kolejno 5 orłów, tzn:
\(\displaystyle{ \frac{1}{\{O\}} \frac{1}{\{O\}}\frac{1}{\{O\}}\frac{1}{\{O\}}\frac{1}{\{O\}} \frac{2}{\{O,R\}} \frac{2}{\{O,R\}}\frac{2}{\{O,R\}}\frac{2}{\{O,R\}}\frac{2}{\{O,R\}}}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{\{R\}} \frac{1}{\{O\}}\frac{1}{\{O\}}\frac{1}{\{O\}}\frac{1}{\{O\}} \frac{1}{\{O\}} \frac{2}{\{O,R\}}\frac{2}{\{O,R\}}\frac{2}{\{O,R\}}\frac{2}{\{O,R\}}}\)

\(\displaystyle{ \frac{2}{\{O,R\}}\frac{1}{\{R\}} \frac{1}{\{O\}}\frac{1}{\{O\}}\frac{1}{\{O\}}\frac{1}{\{O\}} \frac{1}{\{O\}} \frac{2}{\{O,R\}}\frac{2}{\{O,R\}}\frac{2}{\{O,R\}}}\)

\(\displaystyle{ \frac{2}{\{O,R\}}\frac{2}{\{O,R\}}\frac{1}{\{R\}} \frac{1}{\{O\}}\frac{1}{\{O\}}\frac{1}{\{O\}}\frac{1}{\{O\}} \frac{1}{\{O\}} \frac{2}{\{O,R\}}\frac{2}{\{O,R\}}}\)

\(\displaystyle{ \frac{2}{\{O,R\}}\frac{2}{\{O,R\}}\frac{2}{\{O,R\}}\frac{1}{\{R\}} \frac{1}{\{O\}}\frac{1}{\{O\}}\frac{1}{\{O\}}\frac{1}{\{O\}} \frac{1}{\{O\}} \frac{2}{\{O,R\}}}\)

\(\displaystyle{ \frac{2}{\{O,R\}} \frac{2}{\{O,R\}}\frac{2}{\{O,R\}}\frac{2}{\{O,R\}}\frac{1}{\{R\}} \frac{1}{\{O\}}\frac{1}{\{O\}}\frac{1}{\{O\}}\frac{1}{\{O\}} \frac{1}{\{O\}}}\)

Taki sposób daje nam możliwość uniknięcia powtórzeń i chyba dałoby się już na podstawie takiego rozważenia wyprowadzić bardziej ogólny wzór.

W końcu wynik:

\(\displaystyle{ |A| = 2^{5} +2^{4}+2^{4}+2^{4}+2^{4}+2^{4}=2^{4}*7}\)

\(\displaystyle{ P(A)=\frac{2^{4}*7}{2^{10}} = \frac{7}{64}}\)

[RafalMajewskiPL]

Ja spróbuję pomóc.

Sprawdzam wszystkie (ale uproszczone) możliwości:
O - orzeł, R - reszka, X - dowolna strona monety
1. OOOOORXXXX - \(\displaystyle{ 2^{4}}\)
2. OOOOOORXXX - \(\displaystyle{ 2^{3}}\)
3. OOOOOOORXX - \(\displaystyle{ 2^{2}}\)
4. OOOOOOOORX - \(\displaystyle{ 2^{1}}\)
5. OOOOOOOOOR - \(\displaystyle{ 2^{0}}\)
6. OOOOOOOOOO - \(\displaystyle{ 2^{0}}\)

1. ROOOOORXXX - \(\displaystyle{ 2^{3}}\)
2. ROOOOOORXX - \(\displaystyle{ 2^{2}}\)
3. ROOOOOOORX - \(\displaystyle{ 2^{1}}\)
4. ROOOOOOOOR - \(\displaystyle{ 2^{0}}\)
5. ROOOOOOOOO - \(\displaystyle{ 2^{0}}\)

1. XROOOOORXX - \(\displaystyle{ 2^{3}}\)
2. XROOOOOORX - \(\displaystyle{ 2^{2}}\)
3. XROOOOOOOR - \(\displaystyle{ 2^{1}}\)
4. XROOOOOOOO - \(\displaystyle{ 2^{1}}\)

1. XXROOOOORX - \(\displaystyle{ 2^{3}}\)
2. XXROOOOOOR - \(\displaystyle{ 2^{2}}\)
3. XXROOOOOOO - \(\displaystyle{ 2^{2}}\)

1. XXXROOOOOR - \(\displaystyle{ 2^{3}}\)
2. XXXROOOOOO - \(\displaystyle{ 2^{3}}\)

1. XXXXROOOOO - \(\displaystyle{ 2^{4}}\)

Sumując:
\(\displaystyle{ 2\cdot2^{4}+6\cdot2^{3}+5\cdot2^{2}+4\cdot2^{1}+4\cdot2^{0}=112}\)

Wszystkich możliwości jest \(\displaystyle{ 2^{10}}\), więc dzielę 112 przez \(\displaystyle{ 2^{10}}\)
\(\displaystyle{ \frac{112}{2^{10}}\approx\frac{1}{10}}\)

-- 21 lip 2017, o 11:58 --

\(\displaystyle{ |A| = 2^{5} * 2^{4}* 2^{4}* 2^{4}* 2^{4}* 2^{4}=2^{4}*7}\)

Chyba miały być plusy

EDIT:
Miało być:
\(\displaystyle{ 2^{5}+5\cdot2^{4}}\)

-- 21 lip 2017, o 12:17 --

Wzór ogólny dla \(\displaystyle{ x}\) rzutów i serii co najmniej \(\displaystyle{ y}\):
\(\displaystyle{ \frac{2^{x-y}+(x-y)\cdot2^{x-y-1}}{2^{x}}}\)
EDIT: coś jest nie tak z tym wzorem i czasem zwraca wartości większe od 1. Np. dla serii 1. Powinno być wtedy \(\displaystyle{ \frac{2^{x}-1}{2^{x}}}\)

[SlotaWoj]

EDIT:
Miało być:
\(\displaystyle{ 2^{5}+5\cdot2^{4}}\)

A to równa się \(\displaystyle{ 7\cdot2^4}\)

Obaj żeście dobrze obliczyli.

• \(\displaystyle{ \frac{112}{2^{10}}=\frac{7}{64}}\)

[RafalMajewskiPL]

EDIT:
Miało być:
\(\displaystyle{ 2^{5}+5\cdot2^{4}}\)

A to równa się \(\displaystyle{ 7\cdot2^4}\)

Obaj żeście dobrze obliczyli.

• \(\displaystyle{ \frac{112}{2^{10}}=\frac{7}{64}}\)

No tak, a co ze wzorem ogólnym? Mój nie zawsze działa