Dwaj strzelcy strzelają kolejno do celu aż do pierwszego trafienia. Prawdopodobieństwo trafienia
do celu przy jednym strzale dla pierwszego strzelca wynosi \(\displaystyle{ p_{1}}\) a dla drugiego \(\displaystyle{ p_{2}}\). Znaleźć
prawdopodobieństwo, że pierwszy strzelec będzie strzelał większą ilość razy niż drugi.(Odp:
\(\displaystyle{ P(A)= p_{1}+(1- p_{1})(1- p_{2})p_{1}+(1- p_{1})^{2}(1- p_{2})^{2}p_{1}+...= \frac{p_{1}}{1-(1-p_{1})(1-p_{2})}}\).
Widzę tu sumę nieskończonego ciągu geometrycznego jeśli chodzi o odpowiedź ale nie wiem dlaczego ten ciąg tak wygląda. Pewnie chodzi tu o narysowanie jakiegoś drzewka ale jak narazie nie moge sobie go wyobrazić.
Z góry dziękuję za pomoc
Dwaj strzelcy strzelają do celu
-
somas3k
- Użytkownik
- Posty: 84
- Rejestracja: 30 wrz 2013, o 19:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Sosnowiec, Polska
- Podziękował: 30 razy
Dwaj strzelcy strzelają do celu
Oki, dzięki, zdążyłem już do tego dojść ale teraz bardzo podobne zadanie:
Dwaj strzelcy strzelają równocześnie do celu aż do pierwszego trafienia (przez dowolnego
strzelca). Prawdopodobieństwo trafienia do celu przy jednym strzale dla pierwszego strzelca
wynosi \(\displaystyle{ p_{1}}\) a dla drugiego \(\displaystyle{ p_{2}}\). Znaleźć prawdopodobieństwa wygrania dla obu strzelców,
prawdopodobieństwo remisu i prawdopodobieństwo, że gra nigdy się nie skończy.(Odp:
\(\displaystyle{ P(A)= \frac{p_{1}(1- p_{2})}{1-(1- p_{1})(1- p_{2})}}\); \(\displaystyle{ P(B)=\frac{(1-p_{1})p_{2}}{1-(1- p_{1})(1- p_{2})}}\) ; \(\displaystyle{ P(C)=\frac{p_{1}p_{2}}{1-(1- p_{1})(1- p_{2})}}\);
\(\displaystyle{ P(D)=0}\).
Rozumiem mniej więcej o co chodzi ale chciałbym jednak sobie narysować drzewko by to dobrze zrozumieć i jakoś zapamiętać. Z góry dzięki za pomoc.
//Edit:
Dobra, udało mi się.
Dla szukających pomocy w przyszłości:
Rozpatrujemy pierwszy strzał obu strzelców:
P(A)-prawdopodobieństwo, że trafił tylko pierwszy strzelec: \(\displaystyle{ p_{1}(1- p_{2})}\)
P(B)-prawdopodobieństwo, że trafił tylko drugi strzelec: \(\displaystyle{ p_{2}(1- p_{1})}\)
P(C)-prawdopodobieństwo, że trafili oboje: \(\displaystyle{ p_{1}p_{2}}\)
P(D)-prawdopodobieństwo, że żaden nie trafił: \(\displaystyle{ (1-p_{1})(1-p{2})}\).
Sumuje się do jeden, więc można teraz nawet narysować dokładne drzewko.
Po narysowaniu drzewka widać, że następny strzał następuje tylko wtedy, gdy oboje nie trafią, więc ilorazem ciągu jest \(\displaystyle{ (1-p_{1})(1-p{2})}\).
Dwaj strzelcy strzelają równocześnie do celu aż do pierwszego trafienia (przez dowolnego
strzelca). Prawdopodobieństwo trafienia do celu przy jednym strzale dla pierwszego strzelca
wynosi \(\displaystyle{ p_{1}}\) a dla drugiego \(\displaystyle{ p_{2}}\). Znaleźć prawdopodobieństwa wygrania dla obu strzelców,
prawdopodobieństwo remisu i prawdopodobieństwo, że gra nigdy się nie skończy.(Odp:
\(\displaystyle{ P(A)= \frac{p_{1}(1- p_{2})}{1-(1- p_{1})(1- p_{2})}}\); \(\displaystyle{ P(B)=\frac{(1-p_{1})p_{2}}{1-(1- p_{1})(1- p_{2})}}\) ; \(\displaystyle{ P(C)=\frac{p_{1}p_{2}}{1-(1- p_{1})(1- p_{2})}}\);
\(\displaystyle{ P(D)=0}\).
Rozumiem mniej więcej o co chodzi ale chciałbym jednak sobie narysować drzewko by to dobrze zrozumieć i jakoś zapamiętać. Z góry dzięki za pomoc.
//Edit:
Dobra, udało mi się.
Dla szukających pomocy w przyszłości:
Rozpatrujemy pierwszy strzał obu strzelców:
P(A)-prawdopodobieństwo, że trafił tylko pierwszy strzelec: \(\displaystyle{ p_{1}(1- p_{2})}\)
P(B)-prawdopodobieństwo, że trafił tylko drugi strzelec: \(\displaystyle{ p_{2}(1- p_{1})}\)
P(C)-prawdopodobieństwo, że trafili oboje: \(\displaystyle{ p_{1}p_{2}}\)
P(D)-prawdopodobieństwo, że żaden nie trafił: \(\displaystyle{ (1-p_{1})(1-p{2})}\).
Sumuje się do jeden, więc można teraz nawet narysować dokładne drzewko.
Po narysowaniu drzewka widać, że następny strzał następuje tylko wtedy, gdy oboje nie trafią, więc ilorazem ciągu jest \(\displaystyle{ (1-p_{1})(1-p{2})}\).