Dystrybuanta zmiennych losowych

[quru]

Proszę o pomoc z następującym zadaniem:

Niezależne zmienne losowe \(\displaystyle{ X_{1}}\) i \(\displaystyle{ X_{2}}\) mają dystrybuantę

\(\displaystyle{ \begin{cases} 0 &\mbox{dla }x \le -3 \\ \frac{2}{3}x+3 &\mbox{dla }-3 < x \le 0 \\ 3 &\mbox{dla }x > 0 \end{cases}}\)

a) Niech \(\displaystyle{ X = -X_{1}+2X_{2}-3}\).
Obliczyć \(\displaystyle{ E(X)}\) i \(\displaystyle{ D^{2}(X)}\)

b) Obliczyć kwantyle rzędu p dla \(\displaystyle{ p \in (0,1)}\)

---

Definicja Całki Stieltjesa potrzebna do rozwiązania zadania.

Niech \(\displaystyle{ F_{X}}\) będzie dystrybuantą przedziałami ciągłą i różniczkowalną wewnątrz przedziałów ciągłości. Całką Stieltjesa z funkcji \(\displaystyle{ g(x)}\) względem dystrybuanty \(\displaystyle{ F_{X}}\) po przedziale \(\displaystyle{ [a,b]}\) nazywamy liczbę określoną następującym wzorem:

\(\displaystyle{ \int_{a}^{b} g(x)dF_{X} = \int_{a}^{b} g(x) \frac{dF_{X}(x)}{dx} + \sum_{i}^{} g(X_{i})[F_{X}(X_{i}^{+})-F_{X}(X_{i})]}\)

gdzie:

\(\displaystyle{ x_{i}}\) - punkty skokowe zmiennej \(\displaystyle{ X}\)
\(\displaystyle{ F_{X}(xi^{+}) := \lim_{t \to x^{+}} F_{X}(t)}\)

[Premislav]

Primo ultimo to nie jest dystrybuanta. Skąd masz takie zadanie?

[quru]

W treści miałem

\(\displaystyle{ \begin{cases} 0 &\mbox{dla }x \le -1 \\ \frac{1}{3}x+1 &\mbox{dla }-1 < x \le 0 \\ 1 &\mbox{dla }x > 0 \end{cases}}\)

Ale chciałem zobaczyć rozwiązanie dla innych danych, żeby to zrozumieć, a nie umieć na pamięć.

[leg14]

To zmień te dane tak, żeby to chociaż dystrybuanta była.
\(\displaystyle{ \EE(X) = -\EE(X_1) + 2\EE(X_2) -3, Var(X) = Var(X_1) + 4Var(X_2)}\) i jedziesz po kolei. Żeby wyznaczyć kwantyle musisz niestety wyznaczyć dystrybuantę zmiennej \(\displaystyle{ X}\). Po to masz tę informację o całce pana S. Proponuję zebyś spróbował to solo policzyć, skoro masz już jeden przykład rozwiązany - my sprawdzimy Twoje obliczenia.