Splatanie funkcji
-
- Użytkownik
- Posty: 66
- Rejestracja: 9 wrz 2006, o 20:58
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 26 razy
Splatanie funkcji
Witam, od razu przepraszm, ale nie wiem czy to odpowiedni dział, przed chwilą widziałam, jak ktoś dał zadanie tego typu w tym dziale, dlatego ja daje je też tutaj.
Chciałam zapytać o sposób postępowania w przypadku zadań typu "spleć funkcje". W książce od statystyki znalazłam zadanie w którym, aby dojść do wyniku finalnego należy "spleść funkcje", ale nie wiem jak to zrobić.
\(\displaystyle{ f_{XY}(x,y) = \frac{1}{2}}\)
Gęstość zmiennej (splotu) (U,V) wyznaczam ze wzoru
\(\displaystyle{ f_{UV}(u,v) = f_{XY}(x(u,v),y(u,v)) ft| J_{h^{-1}} \right|}\),
gdzie przekształceniem \(\displaystyle{ h}\) jest
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} U=X+Y \\ V=X-Y \end{array}}\),
przekształceniem odwrotnym \(\displaystyle{ h^{-1}}\)
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} X= \frac{U+V}{2} \\ Y= \frac{U-V}{2} \end{array}}\),
a \(\displaystyle{ J_{h^{-1}}}\) jakobianem tego przekształcenia, czyli
\(\displaystyle{ J_{h^{-1}} = ft| \begin{array}{cc} \frac{\partial X}{\partial U} & \frac{\partial X}{\partial V} \\ \frac{\partial Y}{\partial U} & \frac{\partial Y}{\partial V} \\ \end{array} \right|$.}\)
tyle znalazłam w podręczniku (definicje) ale nie wiem jak je zastosować w praktyce....
Chciałam zapytać o sposób postępowania w przypadku zadań typu "spleć funkcje". W książce od statystyki znalazłam zadanie w którym, aby dojść do wyniku finalnego należy "spleść funkcje", ale nie wiem jak to zrobić.
\(\displaystyle{ f_{XY}(x,y) = \frac{1}{2}}\)
Gęstość zmiennej (splotu) (U,V) wyznaczam ze wzoru
\(\displaystyle{ f_{UV}(u,v) = f_{XY}(x(u,v),y(u,v)) ft| J_{h^{-1}} \right|}\),
gdzie przekształceniem \(\displaystyle{ h}\) jest
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} U=X+Y \\ V=X-Y \end{array}}\),
przekształceniem odwrotnym \(\displaystyle{ h^{-1}}\)
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} X= \frac{U+V}{2} \\ Y= \frac{U-V}{2} \end{array}}\),
a \(\displaystyle{ J_{h^{-1}}}\) jakobianem tego przekształcenia, czyli
\(\displaystyle{ J_{h^{-1}} = ft| \begin{array}{cc} \frac{\partial X}{\partial U} & \frac{\partial X}{\partial V} \\ \frac{\partial Y}{\partial U} & \frac{\partial Y}{\partial V} \\ \end{array} \right|$.}\)
tyle znalazłam w podręczniku (definicje) ale nie wiem jak je zastosować w praktyce....
-
- Użytkownik
- Posty: 384
- Rejestracja: 3 maja 2007, o 22:44
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Wrocław
- Pomógł: 92 razy
Splatanie funkcji
No i to co obliczysz podstawiasz do wyjściowej gęstości:
\(\displaystyle{ f_{(U,V)}(u,v)=f_{(X,Y)}(\frac{u+v}{2},\frac{u-v}{2})\frac{1}{2}}\)
Uwaga: Ta pierwsza gęstość jest "niekompletna", chyba czegos zabrakło, choćby obszaru na którym to \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) jest przyjmowana, czy tak?
\(\displaystyle{ f_{(U,V)}(u,v)=f_{(X,Y)}(\frac{u+v}{2},\frac{u-v}{2})\frac{1}{2}}\)
Uwaga: Ta pierwsza gęstość jest "niekompletna", chyba czegos zabrakło, choćby obszaru na którym to \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) jest przyjmowana, czy tak?
-
- Użytkownik
- Posty: 384
- Rejestracja: 3 maja 2007, o 22:44
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Wrocław
- Pomógł: 92 razy
Splatanie funkcji
W samym podstawieniu nic nie zmienia, bo tam gęstość (X,Y) powinna być podstawiona jako indykator tego zbioru,
tylko trzeba wyznaczyc obszar (u,v) dla których ta nowa gęstość jest osiągana czyli podstawić obliczone wartości ((u+v)/2,(u-v)/2) również do nierówności
|x|+|y|
tylko trzeba wyznaczyc obszar (u,v) dla których ta nowa gęstość jest osiągana czyli podstawić obliczone wartości ((u+v)/2,(u-v)/2) również do nierówności
|x|+|y|
-
- Użytkownik
- Posty: 66
- Rejestracja: 9 wrz 2006, o 20:58
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 26 razy
Splatanie funkcji
nie wiem czy dobrze to robię ale wychodzi mi kwadrat o bokach 2x2 jako ten obszar osiągalny przez (u,v) czy to o to chodzi ??
-
- Użytkownik
- Posty: 384
- Rejestracja: 3 maja 2007, o 22:44
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Wrocław
- Pomógł: 92 razy
Splatanie funkcji
Dokładnie , kwadrat o środku w początku układu współrzędnych i bokach równoległych do osi (czy tam prostopadlych jak kto woli ) i długości boku 2 Pozdrawiam
[ Dodano: 19 Września 2007, 21:47 ]
Oczywiście poza tym obszarem gęstośc jest równa 0.
[ Dodano: 19 Września 2007, 21:47 ]
Oczywiście poza tym obszarem gęstośc jest równa 0.
-
- Użytkownik
- Posty: 66
- Rejestracja: 9 wrz 2006, o 20:58
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 26 razy
Splatanie funkcji
przepraszam ale jak powinna wyglądać odpowiedź do tego zadania... nowa funkcja to f(u,v) = ??
\(\displaystyle{ f_{(U,V)}(u,v)=f_{(X,Y)}(\frac{u+v}{2},\frac{u-v}{2})\frac{1}{2}}\) dla \(\displaystyle{ -2}\)
\(\displaystyle{ f_{(U,V)}(u,v)=f_{(X,Y)}(\frac{u+v}{2},\frac{u-v}{2})\frac{1}{2}}\) dla \(\displaystyle{ -2}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 384
- Rejestracja: 3 maja 2007, o 22:44
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Wrocław
- Pomógł: 92 razy
Splatanie funkcji
Przepraszam nie zauważyłam tego pytania
Będzie to:
Kwadrat o boku 2 --->czyli x i y zmieniają się od -1, do 1 (to jest nowy obszar)
Dalej należy podstatwić do gęstości (X,Y)!, a przecież to jest \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\), na "kopniętym" kwadracie, więc nowa gęstość to \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\), bo jakobian wyszedł 1/2. I juz
Będzie to:
Kwadrat o boku 2 --->czyli x i y zmieniają się od -1, do 1 (to jest nowy obszar)
Dalej należy podstatwić do gęstości (X,Y)!, a przecież to jest \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\), na "kopniętym" kwadracie, więc nowa gęstość to \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\), bo jakobian wyszedł 1/2. I juz
-
- Użytkownik
- Posty: 66
- Rejestracja: 9 wrz 2006, o 20:58
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 26 razy
Splatanie funkcji
czyli stara gęstość * jakobian?
dziękuje kochana za Twoją nieocenioną pomoc :*
czy możesz podać mi na pw Twoje gg, w razie jak bym miała problem to bym do Ciebie napisała dobrze?
dziękuje kochana za Twoją nieocenioną pomoc :*
czy możesz podać mi na pw Twoje gg, w razie jak bym miała problem to bym do Ciebie napisała dobrze?
-
- Użytkownik
- Posty: 384
- Rejestracja: 3 maja 2007, o 22:44
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Wrocław
- Pomógł: 92 razy
Splatanie funkcji
W tym przypadku dokładnie tak będzie
Pozdrawiam
Pozdrawiam
Ostatnio zmieniony 29 paź 2007, o 11:40 przez sigma_algebra1, łącznie zmieniany 1 raz.
-
- Użytkownik
- Posty: 66
- Rejestracja: 9 wrz 2006, o 20:58
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 26 razy
Splatanie funkcji
a jak bym miala gestość wyjściowa 0,5*x*y i ten jakobian 1/2 to bede miala f(u,v) = 0.5 * (u+v/2) * (u-v/2) * 1/2 ?
-
- Użytkownik
- Posty: 384
- Rejestracja: 3 maja 2007, o 22:44
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Wrocław
- Pomógł: 92 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 66
- Rejestracja: 9 wrz 2006, o 20:58
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 26 razy
Splatanie funkcji
super bardzo Ci dziekuje :*
a jak obszar gestosci wyjsciowej nie bedzie dany tak jak tutaj |x| + |y| < 1 tylko np -1
a jak obszar gestosci wyjsciowej nie bedzie dany tak jak tutaj |x| + |y| < 1 tylko np -1
-
- Użytkownik
- Posty: 384
- Rejestracja: 3 maja 2007, o 22:44
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Wrocław
- Pomógł: 92 razy
Splatanie funkcji
No to trzeba policzyc . ZA x wstawiasz to (u+v)/2, za y (u-v)/2 i przekształcasz co trzeba, i wychodzi "kopnięty" kwadrat tylko większy niż ostatnio o boku 4.
[ Dodano: 20 Września 2007, 18:49 ]
przepraszam :przekątnej równej 4!
[ Dodano: 20 Września 2007, 18:49 ]
przepraszam :przekątnej równej 4!
-
- Użytkownik
- Posty: 66
- Rejestracja: 9 wrz 2006, o 20:58
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 26 razy
Splatanie funkcji
a masz może pomysł na to zadanie
[Niezalezne zmienne losowe X i Y podlegają rozkladowi normalnemu N(0, σ ). Jaki jest rozklad zmiennej \(\displaystyle{ U = sqrt{X^2 + Y^2}.}\)
[Niezalezne zmienne losowe X i Y podlegają rozkladowi normalnemu N(0, σ ). Jaki jest rozklad zmiennej \(\displaystyle{ U = sqrt{X^2 + Y^2}.}\)