Dystrybuanta oraz gęstość z funkcji minimum

[marcinN1x]

Zadanie: Zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład wykładniczy z parametrem \(\displaystyle{ 3}\). Wyznaczyć dystrybuantę, a na jej podstawie gęstość (jeśli istnieje) zmiennej losowej \(\displaystyle{ Y=\min({X,X^{2}})}\).

Dystrybuantę wyznaczam z tablic:
\(\displaystyle{ F_{X}(x) = \begin{cases} 0 , x < 0 \\ 1 - e^{-3x}, x \ge 0 \end{cases}}\)

Próbuję to ugryźć w ten sposób: rozbijam to na dwa przypadki kiedy \(\displaystyle{ 0 \le X < 1}\) (wtedy \(\displaystyle{ Y = X^{2}}\)) oraz \(\displaystyle{ X \ge 1}\) (wtedy \(\displaystyle{ Y = X}\)). Dla pierwszego rozpisuję:
\(\displaystyle{ F_{Y}(t) = P(Y < t) = P(X^{2} < t) = P(X < \sqrt{t}) = F_{X}(\sqrt{t}) = 1 - e^{-3\sqrt{t}}}\)
Dla przypadku drugiego:
\(\displaystyle{ F_{Y}(t) = P(Y < t) = P(X < t) = P(X < t) = F_{X}(t) = 1 - e^{-3t}}\)

Pierwszy przypadek jest dla \(\displaystyle{ 0 \le t < 1}\) (bo \(\displaystyle{ 0 \le X < 1 \Rightarrow 0 \le \sqrt{Y} < 1 \Rightarrow 0 \le Y < 1}\)), drugi dla \(\displaystyle{ t \ge 1}\).

Teraz wyznaczam gęstość licząc pochodną z dystrybuanty:
dla \(\displaystyle{ 0 \le t < 1}\):
\(\displaystyle{ f_{Y}(t) = \frac{3e^{-3\sqrt{t}}}{2\sqrt{t}}}\)
dla \(\displaystyle{ t \ge 1}\):
\(\displaystyle{ f_{Y}(t) = 3e^{-3t}}\)

I teraz pytanie: czy ten tok rozumowania jest chociaż częściowo poprawny? I jeśli tak - w jaki sposób udowodnić, że gęstość istnieje/nie istnieje? Patrząc z definicji należy udowodnić, że dystrybuanta nie jest / jest bezwzględnie ciągła - ale z definicji znalezionych w internecie jakoś ciężko mi zrozumieć udowadnianie bezwzględnej ciągłości. Chyba, że da się jakoś prościej?

[Premislav]

Nie rozumiem, dlaczego pisałeś, że rozważasz przypadki, w których \(\displaystyle{ 0\le X<1}\) i \(\displaystyle{ X\ge 1}\), a potem dzielisz jednak na przypadki, w których to \(\displaystyle{ 0\le t<1}\) oraz \(\displaystyle{ t\ge 1}\)
Zamysł jest jak najbardziej słuszny, natomiast trochę niezręcznie zapisane (piszesz, że rozważasz 0 \le X<1, potem dzielisz na przypadki wg \(\displaystyle{ t}\) - i tak rzeczywiście należy to podzielić). Gęstość otrzymałeś poprawną.

Ja bym to zapisał tak:
niech \(\displaystyle{ t \ge 0}\), wówczas
\(\displaystyle{ \mathbf{P}\left( Y \le t\right) =\mathbf{P}\left( X \le t \vee X^2 \le t\right)=\mathbf{P}(X \le t \vee X \le \sqrt{t})=\mathbf{P}(X \le \max\left\{t, \sqrt{t}\right\})=\\= \begin{cases} \mathbf{P}(X \le \sqrt{t}) \text{ dla } t \in [0,1) \\ \mathbf{P}(X \le t) \text{ dla } t\ge 1 \end{cases}}\)
i dalej wiadomo (podstawiamy do wzoru dystrybuanty, gęstość znajdujemy różniczkując).

Tam dalej chyba masz na myśli absolutną ciągłość względem miary Lebesgue'a, ale tego się zwykle nie dowodzi, a już na pewno nie z definicji (tj. nie kombinuje się z tw. Radona-Nikodyma, chyba że ktoś ma bardzo teoriomiarowe podejście). Takie zadania, jak zamieszczone tu przez Ciebie są czysto rachunkowe.