Zmienna X ma rozkład absolutnie ciągły z gęstością
\(\displaystyle{ f(x)=}\)
\(\displaystyle{ \left\{ C\ \cdot x \cdot e^{-x} , x \ge 0}\)
\(\displaystyle{ \left\{ 0 , x \le 0}\)
Wyznacz \(\displaystyle{ C}\) i oblicz \(\displaystyle{ EX^2}\)
Mam rozwiązanie ale go nie rozumiem może ktoś wyjaśnić?
\(\displaystyle{ 1= \int_{-\infty}^{\infty} f(x)dx= C \cdot \int_{0}^{\infty} xe^{-x}dx
= C \cdot \Gamma(2)=}\)
\(\displaystyle{ C \cdot 1! = \Gamma( \alpha )=}\)
\(\displaystyle{ \int_{0}^{\infty} x^{ \alpha -1}e^{-x}dx}\)
\(\displaystyle{ \Gamma(n)=(n-1)!}\)
\(\displaystyle{ EX^2= int_{-infty}^{infty} x^2 f(x)dx = int_{0}^{infty} x^3 e^{-x}dx=\(\displaystyle{ \Gamma(4)=3!=6}\)
Po pierwsze nie wiem czy jest \(\displaystyle{ \Gamma}\) nie mam tego nigdzie wyjaśnione , to co się dzieje dalej też jest dla mnie zagadką}\)
