W jednej z książek, którą czytam o optymalizacji stochastycznej, znalazłem dziwną wartość oczekiwaną i jej wzór. Chciałem go udowodnić, lecz nie wiem czy wszystkie przejścia są prawidłowe
\(\displaystyle{ \mathbb{E}\left[\left[z-X\right]_+\right]\ =\ \int_{-\infty}^{z}\int_{-\infty}^{t} f(x)\ dxdt}\)
Gdzie oczywiście \(\displaystyle{ f(x)}\) to funkcja gęstości zmiennej losowej X, a \(\displaystyle{ \left[a\right]_+\
=\ max\{a,0\}}\)
Dowód
Zajmijmy się prawą stroną równania.
\(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{z}\int_{-\infty}^{t} f(x)\ dxdt\ =\ \int_{-\infty}^{z}F(t)\ dt}\)
Można skorzystać z pewnego lematu:
Lemat
Różniczkując po \(\displaystyle{ z}\) nasze równanie przyjmuje postać
\(\displaystyle{ (\mathbb{E}\left[\left[z-X\right]_+\right])'_z\ =\ F(z)}\)
Dowód (Lemat)
Zajmijmy się teraz lewą stroną równania problemu \(\displaystyle{ \mathbb{E}\left[\left[z-X\right]_+\right]\ (*)}\)
Z wzoru \(\displaystyle{ \mathbb{E}\left[g(X)\right]\ =\ \int_{-\infty}^{\infty}g(x)f(x)\ dx}\), mamy że
\(\displaystyle{ (*)\ =\ \int_{-\infty}^{\infty}max\{z-x,0\}f(x)\ dx\ =\ \int_{-\infty}^{z}(z-x)f(x)\ dx\ =\newline=\ z\int_{-\infty}^{z}f(x)\ dx - \int_{-\infty}^{z}xf(x)\ dx\ =\ zF(z) - \int_{-\infty}^{z}xf(x)\ dx\ =\newline=\ zF(z) + f(z)}\)
\(\displaystyle{ (1?)\ \int_{-\infty}^{z}xf(x)\ dx\ =\ -f(z)}\)
Różniczkując otrzymujemy:
\(\displaystyle{ (zF(z) + f(z))'_z\ =\ F(z) + zf(z) - zf(z)\ =\ F(z)}\)
\(\displaystyle{ (2?)\ f'(z)\ =\ -zf(z)}\)
Dodatkowo druga strona:
\(\displaystyle{ \frac{d}{dz}(\int_{-\infty}^{z}F(t)\ dt)\ =\ F(z)\ \square}\)
Dowód (Kontynuacja)
Korzystając z lematu wiemy, że
\(\displaystyle{ \mathbb{E}\left[\left[z-X\right]_+\right]\ =\ \int_{-\infty}^{z}F(t)\ dt\ =\ \int_{-\infty}^{z}\int_{-\infty}^{t} f(x)\ dxdt\ \square}\)
Najbardziej chciałbym, żeby ktoś przejrzał cały dowód i potwierdził jego poprawność, jak również wytłumaczył dlaczego zachodzi \(\displaystyle{ (1)}\) i \(\displaystyle{ (2)}\)? . Jak dobrze wiem \(\displaystyle{ (2)}\) zachodzi dla rozkładu normalnego, lecz nie wiem jak dla innych rozkładów.
Śmieszna notka: Teraz tak zauważyłem pisząc już to wszystko, że obydwa warunki są praktycznie sobie równoważne..
Wartość oczekiwana specyficznego maksimum
- Cytryn
- Użytkownik
- Posty: 405
- Rejestracja: 17 wrz 2016, o 17:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 46 razy
Re: Wartość oczekiwana specyficznego maksimum
Martwi mnie używana tutaj notacja, przecież
\(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{\infty}F(z)\ dx = \begin{cases} \pm \infty & F(z) \neq 0 \\ 0 & F(z) = 0\end{cases}}\).
\(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{\infty}F(z)\ dx = \begin{cases} \pm \infty & F(z) \neq 0 \\ 0 & F(z) = 0\end{cases}}\).
- Cytryn
- Użytkownik
- Posty: 405
- Rejestracja: 17 wrz 2016, o 17:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 46 razy
Re: Wartość oczekiwana specyficznego maksimum
Martwi mnie post po edycji,
\(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{z}F(x)\ dt \in \{0, \infty\}}\)
w zależności od tego, czy \(\displaystyle{ F(x) >0}\), czy nie. Wyrażenie pod całką nie zależy od zmiennej, po której całkujemy, \(\displaystyle{ t}\).
\(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{z}F(x)\ dt \in \{0, \infty\}}\)
w zależności od tego, czy \(\displaystyle{ F(x) >0}\), czy nie. Wyrażenie pod całką nie zależy od zmiennej, po której całkujemy, \(\displaystyle{ t}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 70
- Rejestracja: 2 lut 2017, o 10:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Stęszew
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 14 razy
Re: Wartość oczekiwana specyficznego maksimum
Kolejna edycja.. Patrząc w książkę zobaczyłem bubel, który robiłem.
Ostatni post o edycji - nie będę nabijał sobie postów
Ostatni post o edycji - nie będę nabijał sobie postów