Rozkład wykładniczy
-
Benny01
- Użytkownik
- Posty: 1116
- Rejestracja: 11 wrz 2015, o 19:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Górnicza Dolina
- Podziękował: 74 razy
- Pomógł: 115 razy
Rozkład wykładniczy
Pewnemu niezbyt zręcznemu włamywaczowi udaje się otworzyć przeciętnie jedne drzwi na sto. Zysk włamywacza z jednego udanego włamania jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym z wartością oczekiwaną \(\displaystyle{ 10^4 \hbox{ zł }}\). Ile prób musi podjąć ten złodziej, aby z prawdopodobieństwem co najmniej \(\displaystyle{ 0.9}\) uzyskać sumę przekraczającą \(\displaystyle{ 500}\) tys. zł, jeżeli kolejne próby można uznać za stochastycznie niezależne?
-
Igor V
- Użytkownik
- Posty: 1605
- Rejestracja: 16 lut 2011, o 16:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 18 razy
- Pomógł: 604 razy
Re: Rozkład wykładniczy
CTG - niech \(\displaystyle{ X_i}\) oznacza zmienną losową odpowiadającą za zgarniany łup w i-tej próbie.
\(\displaystyle{ Y = \sum_{i=1}^n X_i}\)
Zakładamy że wszystkie zmienne są typu \(\displaystyle{ i.i.d}\). Wtedy możemy oszacować:
\(\displaystyle{ P\left(Y > 5 \cdot 10 ^{5}\right) = P\left( \frac{ \sum_{i=1}^n X_i - n \cdot \mu}{ \sqrt{n \cdot \sigma^2} } > \frac{5\cdot 10 ^{5} - n \cdot \mu}{ \sqrt{n \cdot \sigma^2} } \right) \ge 0.9}\)
\(\displaystyle{ \sigma}\) wyliczysz na podstawie wartości oczekiwanej (przez \(\displaystyle{ \lambda}\)) + dobrze jeszcze skorzystać z tego że \(\displaystyle{ P(X > a) = 1 - P(X \le a)}\) co się przyda do dystrybuanty rozkładu normalnego.
\(\displaystyle{ Y = \sum_{i=1}^n X_i}\)
Zakładamy że wszystkie zmienne są typu \(\displaystyle{ i.i.d}\). Wtedy możemy oszacować:
\(\displaystyle{ P\left(Y > 5 \cdot 10 ^{5}\right) = P\left( \frac{ \sum_{i=1}^n X_i - n \cdot \mu}{ \sqrt{n \cdot \sigma^2} } > \frac{5\cdot 10 ^{5} - n \cdot \mu}{ \sqrt{n \cdot \sigma^2} } \right) \ge 0.9}\)
\(\displaystyle{ \sigma}\) wyliczysz na podstawie wartości oczekiwanej (przez \(\displaystyle{ \lambda}\)) + dobrze jeszcze skorzystać z tego że \(\displaystyle{ P(X > a) = 1 - P(X \le a)}\) co się przyda do dystrybuanty rozkładu normalnego.