Zagwozdka z prawdopodobieństwa

[b7kj]

Cześć wszystkim !

Mam drobny problem z pewnym zadaniem z prawdopodobieństwa. Treść zadania brzmi:

Trzech dostawców: I, II i III dostarczyło identyczne podzespoły. Prawdopodobieństwo że podzespoły są bez wad wynosi kolejno: 0,7 0,8 i 0,6. Dostawca I dostarczył jedną sztukę, dostawcy II i III po dwie.

Do tego zadania mam kilka zapytań, dwa z nich umiem rozwiązać, ale jeden sprawia mi mega problem.

Opcja 1. Prawdopodobieństwo że dowolnie wybrany element będzie wadliwy /bez wad ?

Tutaj liczę prawdopodobieństwo całkowite.

P(A) = 0,2 * 0,3 + 0,4*0,2 + 0,4*0,4 = 0,3
lub analogicznie dla pozbawionego wad = 1- P(A)

Opcja 2. Element wadliwy/bez wady będzie dostarczony przez dostawcę I/II/III

Tutaj robię to Bayesem. Przykładowo, wadliwy element dostarczył dostawca I

P(B) = (0,2*0,4)/0,3 = 0,27

Opcja 3. Wszystkie dostarczone elementy będą wadliwe/sprawne ?

No i tutaj niestety się wykładam, kompletnie nie wiem jak ugryźć to zagadnienie. Próbowałem w ten sposób, przykładowo dla opcji - wszystkie elementy będą wadliwe:

P(B1) = 0,06
P(B2) = 0,08
P(B3) = 0,16
P(wylosowania wadliwej próbki) = 0,3

P(C)= (PB1 * PB2 * PB3)/0,3

ale wychodzi śmiesznie mała wartość i nie wydaje mi się żeby to było poprawne rozwiązanie. Próbowałem to też zrobić na piechotę, obliczając prawdopodobieństwo wylosowania wadliwego elementu pomniejszając ich ilość z każdym kolejnym losowaniem (dla 5 elementów, dla 4 etc) ale także wychodziły mi jakieś śmieszne wyniki. Czy ktoś wspomógłby radą ? Byłbym wielce wdzięczny.

P.S Przy okazji mógłby ktoś napisać jakby to wyglądało dla opcji np. 2 elementy z 5 będą wadliwe, 3 z 5 itp ?

[kerajs]

Opcja 1.

Dostawca I dostarczył jedną sztukę, dostawcy II i III po dwie

czyli losujesz ze zbioru 5 elementów wśród których jest 0,1,..,5 wadliwych. Musisz to uwzględnić.

Opcja 2.
Mało konkretna jest treść tego polecenia. Naprawdę takie jest w zadaniu?

Opcja 3.
Powinna być przed opcją 1 bo zawiera część jej rozwiązania.

[b7kj]

Dokładna treść zadania i opcji 1,2,3.

Trzech dostawców: I, II i III dostarczyło identyczne podzespoły zamienne. Prawdopodobieństwa że części dostarczone od poszczególnych pracodawców są pozbawione wad wynoszą odpowiednio: 0.7, 0.8, 0.6. Dostawca I dostarczył 1 sztukę, dostawcy II i III po 2 sztuki. Jakie jest prawdopodobieństwo że:

a) dowolnie wybrany podzespół będzie wadliwy
b) dowolnie wybrany podzespół będzie sprawny
c) wadliwy podzespół będzie pochodził od dostawcy III
d) podzespół pozbawiony wad będzie dostarczony przez dostawcę I
e) wszystkie dostarczone podzespoły będą wadliwe
f) wszystkie dostarczone podzespoły będą sprawne

Rozwiązuje to w ten sposób że ilość dostarczonych sztuk zamieniam na procenty, więc

dostawca I - 0,2
dostawca II - 0,4
dostawca III - 0,4

dostawca I towar dobry - 0.7, towar zły - 0.3
dostawca II towar dobry - 0.8, towar zły - 0.2
dostawca III towar dobry - 0.6, towar zły - 0.4

więc
a) prawdopodobieństwo całkowite

\(\displaystyle{ P(A)=0.2*0.7+0.4*0.8+0.4*0.6 = 0.14+0.32+0.24=0.7}\)

b) prawdopodobieństwo całkowite

\(\displaystyle{ P(B)=0.2*0.3+0.4*0.2+0.4*0.4=0.06+0.08+0,16=0.3}\)

c) Bayes, średnio ogarniam zapisy poszczególnych prawdopodobieństw na symbolach, ale działając na liczbach to będzie:

\(\displaystyle{ P(C)= \frac{0.4*0.4}{0.3}= \frac{0.16}{0.3}=0.53}\)

d) Bayes, analogicznie do poprzedniego

\(\displaystyle{ P(D)= \frac{0.7*0.2}{0.7}= \frac{0.14}{0.7}=0.2}\)

Przy punktach e i f niestety, jak pisałem, wysiadam. Nie wiem kompletnie jak je ugryźć, nie znalazłem ani w internecie, ani w eTrapezie nic co by mnie nakierowało na rozwiązanie tego.

[kerajs]

f)
Wszystkie sprawne:
\(\displaystyle{ P(f)=0,7 \cdot 0,8^2 \cdot 0,6^2}\)
e)
Wszystkie wadliwe:
\(\displaystyle{ P(e)=(1-0,7) \cdot (1-0,8)^2 \cdot (1-0,6)^2}\)

a,b)
Mamy 5 elementów, wybieramy jeden z nich. Od czego zależy szansa tego że będzie on wadliwy lub sprawny? Oczywiście od ilości elementów wadliwych (=5-sprawne) wśród 5 elementów.
Policz proszę, z jakim prawdopodobieństwem:
1) będzie 1 element wadliwy i 4 dobre
2) będą 2 elementy wadliwe i 3 dobre
3) będą 3 elementy wadliwe i 2 dobre
4) będą 4 elementy wadliwe i 1 dobry

Dopiero losując z tych układów (1,2,3,4,e,f) możesz wyliczyć pkt. a) oraz b)

[b7kj]

A mógłby Pan jakoś objaśnić te punkty e i f ? Skąd kwadraty ?

Co do punktów a) i b) to zrobiłem je tak jak prowadzący na wykładzie przykładowe zadanie które brzmiało:

"Pewien produkt produkowany jest przez fabryki A,B i C. Produkcja fabryki A jest dobra w 95%, B - 80%, C - 90%. Fabryki dostarczają odpowiednio - 25,35 i 40% towaru na rynek. Jakie jest prawdopodobieństwo że dowolnie zakupiony produkt będzie dobry ?"

Prowadzący jako rozwiązanie tego przedstawił:

P(B1) = 0,95
P(B2) = 0,8
P(B3) = 0,9

P(A|B1) = 0,25
P(A|B2) = 0,35
P(A|B3) = 0,4

\(\displaystyle{ P(C) = P(B1)*P(A|B1)+P(B2)*P(A|B2)+P(B3)*P(A|B3)}\)

więc w taki sam sposób zrobiłem podpunkty a i b.

[kerajs]

OK. Dotarło do mnie.
a),b) masz dobrze.
\(\displaystyle{ P(a) = P(F1)P(wadliwy|F1)+P(F2)P(wadliwy|F2)+P(F3)P(wadliwy|F3)}\)
\(\displaystyle{ P(b) = P(F1)P(dobry|F1)+P(F2)P(dobry|F2)+P(F3)P(dobry|F3)}\)
Ja proponowałem dłuższą drogę zasugerowany pierwszym postscriptum. Niepotrzebnie, sorry.

Jakie jest prawdopodobieństwo że:
...
c) wadliwy podzespół będzie pochodził od dostawcy III
d) podzespół pozbawiony wad będzie dostarczony przez dostawcę I

Dziwna jest konstrukcja tych pytań. Traktując je jako kontynuację a), b) należy je rozumieć tak

Jakie jest prawdopodobieństwo że:
...
c) jeśli wybrany podzespół będzie wadliwy, to będzie on pochodził od dostawcy III
d) jeśli wybrany podzespół będzie pozbawiony wad, to będzie on dostarczony przez dostawcę I

To prawdopodobieństwa warunkowe
\(\displaystyle{ P(c)=P(F3|wadliwy)= \frac{P(F3 \cap wadliwy)}{P(wadliwy)}= \frac{0,4 \cdot 0,4}{0,2 \cdot 0,3+0,4 \cdot 0,2+0,4 \cdot 0,4 } \\
P(d)=P(F1|dobry)= \frac{P(F1 \cap dobry)}{P(dobry)}= \frac{0,2 \cdot 0,7}{0,2 \cdot 0,7+0,4 \cdot 0,8+0,4 \cdot 0,6 }}\)

P.S Przy okazji mógłby ktoś napisać jakby to wyglądało dla opcji np. 2 elementy z 5 będą wadliwe, 3 z 5 itp ?

To podobnie jak e), f) znajdujemy z niezależności zdarzeń lub szybciej z drzewka ( ma ono 5 poziomów, na pierwszym losujemy z produktów fabryki 1, na drugim i trzecim z F2, a czwarty i piąty z F3.
\(\displaystyle{ P(e)=P(5wadliwych)=0,3 \cdot 0,2 \cdot 0,2 \cdot 0,4 \cdot 0,4\\
P(e)=P(0wadliwych)=0,7 \cdot 0,8 \cdot 0,8 \cdot 0,6 \cdot 0,6\\
\\
P(2wadliwe)=2 \cdot 0,3 \cdot 0,8 \cdot 0,2 \cdot 0,6 \cdot 0,6+2 \cdot 0,3 \cdot 0,8 \cdot 0,8 \cdot 0,6 \cdot 0,4+ \\+ 0,7 \cdot 0,2 \cdot 0,2 \cdot 0,6 \cdot 0,6+ 0,7 \cdot 0,8 \cdot 0,8 \cdot 0,4 \cdot 0,4+4 \cdot 0,7 \cdot 0,8 \cdot 0,2 \cdot 0,6 \cdot 0,4}\)

[b7kj]

Dziękuję za pomoc. Widzę że zaproponowane przez Pana rozwiązanie dla podpunktów c) i d) pokrywa się z moim, tylko ja w mianowniku od razu wpisałem odpowiednie prawdopodobieństwa policzone wcześniej w a) i b).

Rozwiązania punktu e) drzewkiem będzie wyglądało tak:

Kod: Zaznacz cały

http://wstaw.org/w/4wOM/

Dla podpunktu f) analogicznie tylko z prawdopodobieństwami dobrego elementu.

Spróbuję jeszcze rozgryźć opcje z 2, 3 i 4 elementami wadliwymi. Mała podpowiedź skąd tutaj:

\(\displaystyle{ P(2wadliwe)=2 \cdot 0,3 \cdot 0,8 \cdot 0,2 \cdot 0,6 \cdot 0,6+2 \cdot 0,3 \cdot 0,8 \cdot 0,8 \cdot 0,6 \cdot 0,4+ \\+ 0,7 \cdot 0,2 \cdot 0,2 \cdot 0,6 \cdot 0,6+ 0,7 \cdot 0,8 \cdot 0,8 \cdot 0,4 \cdot 0,4+ 4 \cdot 0,7 \cdot 0,8 \cdot 0,2 \cdot 0,6 \cdot 0,4}\)

pojawiają się liczby 2 i 4 ? Rozumiem to tak że po prostu do tego samego prawdopodobieństwa można za pomocą drzewka dojść dwukrotnie (i czterokrotnie), i to tylko dla skrócenia zapisu.

Niemniej wszystkie główne punkty o które pytałem zostały wyjaśnione, wielkie dzięki za pomoc !