Gęstość rozkładu

[Benny01]

Jeśli mam gęstość zmiennej \(\displaystyle{ X}\) i gęstość zmiennej \(\displaystyle{ Y}\), lecz nie mam informacji czy są niezależne to w jaki sposób mogę obliczyć \(\displaystyle{ E(XY)}\).
Chyba, że to nie jest konieczne, ponieważ moim zadaniem jest obliczenie współczynnika korelacji tych zmiennych, a do tego potrzebna jest mi kowariancja \(\displaystyle{ \Rightarrow}\) że potrzebuje \(\displaystyle{ E(XY)}\).

[Pakro]

Masz ich osobne gęstości, a nie gęstość wektora losowego?

[Benny01]

Cała treść:
\(\displaystyle{ U_1}\), \(\displaystyle{ U_2}\) są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach jednostajnych \(\displaystyle{ U(0,1)}\). Niech \(\displaystyle{ X=min(U_1,U_2)}\), \(\displaystyle{ Y=max(U_1,U_2)}\). Obliczyć współczynnik korelacji zmiennych \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\).

[Pakro]

Więc wiesz, że wektor \(\displaystyle{ (U_1,U_2)}\) ma rozkład jednostajny na \(\displaystyle{ [0,1]^2}\). Myślę, że łatwiej będzie tu użyć wzoru \(\displaystyle{ E(h(U_1,U_2)) = \int_{\mathbb{R}^2} h(x,y) f_{(U_1,U_2)}(x,y) dxdy}\) ale może ktoś ma lepszy pomysł

[Benny01]

Tylko co czym jest w tym wzorze?

[Pakro]

\(\displaystyle{ f_{(U_1,U_2)}=1_{[0,1]^2}(x,y)}\)
\(\displaystyle{ h(x,y)=min(x,y)\cdot max(x,y)}\)

[Benny01]

Z czego taki wzór w ogóle wynika? Średnio to widzę.

[Pakro]

Rozbijesz to na dwie całki i dostaniesz \(\displaystyle{ E(XY)}\).

Kod: Zaznacz cały

http://prac.im.pwr.wroc.pl/~arokita/SMG/Wyklad4.pdf

strona 11.

[Benny01]

Przecież nie znamy gęstości \(\displaystyle{ f(x,y)}\)

[Premislav]

Można podejść do tego problemu o wiele ogólniej.
Niech \(\displaystyle{ X_1, X_2, \dots X_n}\) będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie ciągłym z dystrybuantą \(\displaystyle{ F}\) i gęstością \(\displaystyle{ f}\), której nośnikiem jest przedział \(\displaystyle{ (a,b)}\). Określamy
\(\displaystyle{ X_{(1)}=\min\left\{X_1, \dots X_n\right\}\\X_{(2)}=\min\left\{X_1, \dots X_n \right\}\setminus\left\{ X_{(1)}\right\} \\ \dots \\X_{(n)}=\max\left\{X_1, \dots X_{n}\right\}}\)
Innymi słowy, porządkujemy je rosnąco (a ściślej niemalejąco), tj.
\(\displaystyle{ X_{(1)} \le X_{(2)}\le \dots \le X_{(n)}}\)
Dla \(\displaystyle{ i \in \left\{ 1,\dots n\right\}}\) nazywamy \(\displaystyle{ X_{(i)}}\) i-tą statystyką pozycyjną (ew. porządkową).
Niech \(\displaystyle{ i \in\left\{ 1,\dots n\right\}, j \in\left\{ 1,\dots n\right\}}\)
Można znaleźć gęstość rozkładu łącznego i-tej i j-tej statystyki pozycyjnej, przyjmijmy \(\displaystyle{ i<j}\).
Oznaczmy \(\displaystyle{ Z_1=X_{(1)}, \dots Z_n=X_{(n)}}\)
Wówczas gęstość rozkładu łącznego statystyk pozycyjnych z \(\displaystyle{ (X_1, \dots X_n)}\)
przedstawia się następująco:
\(\displaystyle{ g(z_1, \dots z_n)= \begin{cases} n! \displaystyle{\prod_{i=1}^{n}}f(z_i) \text{ gdy } a< z_1 \le z_2 \dots \le z_n < b \\ 0 \text{ w przeciwnym razie } \end{cases}}\)

W szczególności dla \(\displaystyle{ n=2}\) i rozkładu jednostajnego na \(\displaystyle{ (0,1)}\) mamy
\(\displaystyle{ g(z_1, z_2)=2!f(z_1)f(z_2)\mathbf{1}\left( 0<z_1 \le z_2 <1\right)=2 \cdot \mathbf{1}\left( 0<z_1 \le z_2 <1\right)}\)
- gęstość rozkładu łącznego wektora losowego \(\displaystyle{ (X,Y)=(\min(U_1, U_2), \max(U_1, U_2))}\)
Zatem
\(\displaystyle{ \mathbf{E}\left[ XY\right] = \int_{0}^{1} \int_{0}^{z_2}2 z_1 z_2 \,\dd z_1 \,\dd z_2=\dots}\)

[Benny01]

No, ok już nawet nie będę wnikał w ten wzór. Zastanawia mnie tylko fakt czy jest ewentualność, że takie coś nie przejdzie na egzaminie z racji tego, że nie mieliśmy takich pojęć?

[Premislav]

A no tak, to mogłoby nie przejść. Można skorzystać z sugestii usera Pakro, którego post chyba źle zrozumiałeś.
Fakt (ultra znany!!! Bez niego nie zdasz! Naukowcy go nienawidzą! ZOBACZ ZDJĘCIA):
niech wektor losowy \(\displaystyle{ (X_1, X_2)}\) ma rozkład ciągły z gęstością \(\displaystyle{ f(x_1, x_2)}\) na nośniku \(\displaystyle{ A \subseteq \RR^2}\) i niech funkcja \(\displaystyle{ \phi}\) będzie mierzalna.
Wówczas następująca wartość oczekiwana: \(\displaystyle{ \mathbf{E}\left[ \phi(X_1, X_2)\right]}\), o ile istnieje, jest równa \(\displaystyle{ \iint_A \phi(x_1, x_2) f(x_1, x_2) \,\dd(x_1, x_2)}\)
No i do dzieła. Można zauważyć, że
\(\displaystyle{ \max (U_1, U_2) \cdot \min (U_1, U_2)= U_1 U_2}\)... chyba.

U użytkownika Pakro jest to ten fragment:

\(\displaystyle{ E(h(U_1,U_2)) = \int_{\mathbb{R}^2} h(x,y) f_{(U_1,U_2)}(x,y) dxdy}\)

Pewnie Cię zmyliły oznaczenia.
Nie jest Ci tu potrzebna przy takim podejściu gęstość łączna \(\displaystyle{ (X, Y)}\), bo masz gęstość łączną \(\displaystyle{ (U_1, U_2)}\)-- 19 cze 2017, o 12:11 --A z czego ten wzór wynika, to szczerze mówiąc też nie pamiętam. Można spojrzeć w Jakubowskim i Sztenclu czy innym Fellerze. U Jakubowskiego i Sztencla było to w rozdziale "Parametry rozkładów", gdzieś około stron 80-90.

[Benny01]

Ok, czyli dostaniemy:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} xydxdy= \int_{0}^{1} \frac{1}{2}ydy=\frac{1}{4}}\). Zgadza się -- 19 cze 2017, o 17:40 --Wiemy, że \(\displaystyle{ EXY= \frac{1}{4}}\).
Potrzebujemy jeszcze \(\displaystyle{ EX}\), \(\displaystyle{ EY}\) oraz \(\displaystyle{ VarX}\) i \(\displaystyle{ VarY}\).
Musimy znaleźć gęstości \(\displaystyle{ X}\) oraz \(\displaystyle{ Y}\).
Zajmijmy się tylko przedziałem \(\displaystyle{ [0,1]}\).
\(\displaystyle{ P(X \le x)=1-P(X>x)=1-P(U_1>x \wedge U_2 >x)=}\)
\(\displaystyle{ =1-P(U_1>x) \cdot P(U_2>x)=1-(1-F_U(x))^2= 2x-x^2}\)
Gęstość \(\displaystyle{ f_X(x)=2-2x}\)
Analogicznie dla \(\displaystyle{ Y}\) wychodzi \(\displaystyle{ f_Y(y)=2y}\)
\(\displaystyle{ EY= \int_{0}^{1} 2y^2dy=\frac{2}{3}}\)
\(\displaystyle{ EY^2= \int_{0}^{1}2y^3dy=\frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ VarY=\frac{1}{2}-\frac{4}{9}=\frac{1}{18}}\)

\(\displaystyle{ EX= \int_{0}^{1}(2x-2x^2)dx=\frac{1}{3}}\)
\(\displaystyle{ EX^2= \int_{0}^{1}(2x^2-2x^3)dx=\frac{1}{6}}\)
\(\displaystyle{ VarX=\frac{1}{18}}\)

\(\displaystyle{ Cov(X,Y)=\frac{1}{4}-\frac{2}{9}=\frac{1}{36}}\)
\(\displaystyle{ \rho (X,Y)=\frac{1}{36} \cdot 18=\frac{1}{2}}\)

Wszystko ładnie wyszło