Zbieżność zmiennych losowych

[Benny01]

Wykazać, że jeżeli \(\displaystyle{ EX_n \rightarrow \mu}\) oraz \(\displaystyle{ VarX_n \rightarrow 0}\), to \(\displaystyle{ X_n \xrightarrow{p} \mu}\).

[Premislav]

Skorzystamy z nierówności Czebyszewa-Bienayme. Orzeka ona, że dla dowolnego \(\displaystyle{ \epsilon>0}\) i zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\) mającej drugi moment zachodzi:
\(\displaystyle{ \mathbf{P}(|X-\mathbf{E}X| \ge \epsilon) \le \frac{\mathrm{Var} X}{\epsilon^2}}\)

Ustalmy dowolne \(\displaystyle{ \epsilon>0}\). Z powyżej wspomnianej nierówności otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \mathbf{P}\left(|X_n-\mathbf{E}X_n| \ge \frac 1 2\epsilon\right) \le \frac{4\mathrm{Var} X_n}{\epsilon^2}}\)
Ponadto \(\displaystyle{ |X_n-\mu| \le |X_n-\mathbf{E}X_n|+|\mathbf{E}X_n-\mu|}\)
co wynika z nierówności, którą udowodnił Trójkąt, znany polski matematyk.
Zatem
\(\displaystyle{ \mathbf{P}(|X_n-\mu| \ge \epsilon)\le \mathbf{P}\left(|X_n-\mathbf{E}X_n| \ge \frac 1 2\epsilon \vee |\mathbf{E}X_n-\mu| \ge \frac 1 2 \epsilon \right) \le \\ \le \mathbf{P}\left(|X_n-\mathbf{E}X_n| \ge \frac 1 2\epsilon\right)+\mathbf{P}\left( |\mathbf{E}X_n-\mu| \ge \frac 1 2 \epsilon\right)}\)
gdzie w ostatniej nierówności skorzystaliśmy ze znanego \(\displaystyle{ \mathbf{P}(A \cup B) \le \mathbf{P}(A)+\mathbf{P}(B)}\).
Ponieważ ustaliliśmy \(\displaystyle{ \epsilon>0}\), zaś \(\displaystyle{ \mathbf{E}X_n \rightarrow \mu}\), więc dla dostatecznie dużych \(\displaystyle{ n}\) drugi składnik jest równy zero.
Natomiast pierwszy składnik majoranty szacujemy jak to wyżej napisałem z nierówności Czebyszewa-Bienayme, po czym korzystamy z \(\displaystyle{ \mathrm{Var} X_n \rightarrow 0}\)
I koniec.
PS Za dużo Ukraińców we Wrocławiu.

[Benny01]

Dzięki
PS. Czemu tak?

[Premislav]

Nie mam nic przeciwko ludziom jako ludziom, ale większość tych osób była wychowywana i uczona w kraju, w którym OUN (Organizacja Ukraińskich Nacjonalistów) jest traktowana jak bohaterowie, a niechęć do Polski i Polaków (nie mówię, że całkowicie nieuzasadniona historycznie) jest mocno ugruntowana. Ja bym wolał, żeby osoby, które od dziecka słuchały, że Bandera był bohaterem, nie przyjeżdżały do Polski, ale już może lepsze to niz ich śmierć czy życie bez bieżącej wody i prądu (podkreślam: może).

Chyba że pytałeś o to, dlaczego taki sposób rozwiązania. Wtedy odpowiedź brzmi: bo na taki akurat wpadłem. To w sumie dość narzucająca się droga.

[Benny01]

Chodziło mi oczywiście o tych Ukraińców