1.Pewien towar ma wadliwość 0,4%. Zakupiono 500 sztuk tego towaru. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że ilość znalezionych w tej partii sztuk wadliwych będzie się zawierać w granicach 0,8% - 1%.
2. Obliczyć prawdopodobieństwo, że w serii 100 wyprodukowanych detali znajdą się co najwyżej 4 braki, jeżeli przeciętny procent braków wynosi 2 promile (0,2%).
3. Zmienna losowa X przyjmuje wartości równe podwójnej liczbie oczek wyrzuconych na kostce do gry. Znaleźć rozkład prawdopodobieństwa tej zmiennej losowej, wyznaczyć dystrybuantę, wykreślić histogram i dystrybuantę. Obliczyć E(X), VAR(X), \(\displaystyle{ \sigma (X)}\), Me(X), oraz P(X<5), P(6 \(\displaystyle{ \le}\) 6<11), P(X \(\displaystyle{ \ge}\) 7).
Rachunek prawdopodobieństwa
-
domixerka1996
- Użytkownik
- Posty: 7
- Rejestracja: 17 cze 2017, o 12:35
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Bielsko-Biała
- Podziękował: 3 razy
-
loitzl9006
- Moderator
- Posty: 3050
- Rejestracja: 21 maja 2009, o 19:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Starachowice
- Podziękował: 29 razy
- Pomógł: 816 razy
Re: Rachunek prawdopodobieństwa
Zad. 1
\(\displaystyle{ \lambda=500\cdot0.4\%=2 \ \to \ \lambda=2 \\ k_1=500\cdot0.8\%=4, \ \ k_2=500\cdot1\%=5}\)
Mamy znaleźć prawdopodobieństwo że liczba znalezionych wadliwych sztuk jest równa \(\displaystyle{ 4}\) lub \(\displaystyle{ 5}\)
\(\displaystyle{ P(k)=\frac{\lambda^k}{k!}\cdot e^{-\lambda}\\ k=4, \ \lambda=2\\ P(4)=\frac{2^4}{4!}\cdot e^{-2}=\frac23\cdot e^{-2}\\ k=5\\ P(5)=\frac{2^5}{5!}\cdot e^{-2}=\frac{32}{120}\cdot e^{-2}=\frac4{15}\cdot e^{-2}\\ P=P(4)+P(5)=\frac23\cdot e^{-2}+\frac4{15}\cdot e^{-2}=(\frac23+\frac4{15})\cdot e^{-2}=\frac{14}{15}\cdot e^{-2}\approx 0.126}\)
Zad. 2
\(\displaystyle{ \lambda=100\cdot0.2\%=0.2\ \to \ \lambda=0.2\\ 4 \ braki = \
4\%\ \to \ k=100\cdot4\%=4\ \to \ k=4}\)
Co najwyżej \(\displaystyle{ 4}\) braki - czyli
\(\displaystyle{ 0}\) braków \(\displaystyle{ k=0}\)
lub \(\displaystyle{ 1}\) brak \(\displaystyle{ k=1}\)
lub \(\displaystyle{ 2}\) braki \(\displaystyle{ k=2}\)
lub \(\displaystyle{ 3}\) braki \(\displaystyle{ k=3}\)
lub \(\displaystyle{ 4}\) braki \(\displaystyle{ k=4}\)
\(\displaystyle{ P(k)=\frac{\lambda^k}{k!}\cdot e^{-\lambda} \\ k=0\\ P(0)=\frac{0.2^0}{0!}\cdot e^{-0.2}=\approx 0.819 \\ P(1)=\frac{0.2^1}{1!}\cdot e^{-0.2}\approx 0.164 \\ P(2)=\frac{0.2^2}{2!}\cdot e^{-0.2}\approx0.016\\ P(3)=\frac{0.2^3}{3!}\cdot e^{-0.2}\approx 0.001\\ P(4)=\frac{0.2^4}{4!}\cdot e^{-0.2}\approx 0\\ P=P(0)+P(1)+P(2)+P(3)+P(4)=0.819+0.164+0.016+0.001+0=\boxed1}\)
\(\displaystyle{ \lambda=500\cdot0.4\%=2 \ \to \ \lambda=2 \\ k_1=500\cdot0.8\%=4, \ \ k_2=500\cdot1\%=5}\)
Mamy znaleźć prawdopodobieństwo że liczba znalezionych wadliwych sztuk jest równa \(\displaystyle{ 4}\) lub \(\displaystyle{ 5}\)
\(\displaystyle{ P(k)=\frac{\lambda^k}{k!}\cdot e^{-\lambda}\\ k=4, \ \lambda=2\\ P(4)=\frac{2^4}{4!}\cdot e^{-2}=\frac23\cdot e^{-2}\\ k=5\\ P(5)=\frac{2^5}{5!}\cdot e^{-2}=\frac{32}{120}\cdot e^{-2}=\frac4{15}\cdot e^{-2}\\ P=P(4)+P(5)=\frac23\cdot e^{-2}+\frac4{15}\cdot e^{-2}=(\frac23+\frac4{15})\cdot e^{-2}=\frac{14}{15}\cdot e^{-2}\approx 0.126}\)
Zad. 2
\(\displaystyle{ \lambda=100\cdot0.2\%=0.2\ \to \ \lambda=0.2\\ 4 \ braki = \
4\%\ \to \ k=100\cdot4\%=4\ \to \ k=4}\)
Co najwyżej \(\displaystyle{ 4}\) braki - czyli
\(\displaystyle{ 0}\) braków \(\displaystyle{ k=0}\)
lub \(\displaystyle{ 1}\) brak \(\displaystyle{ k=1}\)
lub \(\displaystyle{ 2}\) braki \(\displaystyle{ k=2}\)
lub \(\displaystyle{ 3}\) braki \(\displaystyle{ k=3}\)
lub \(\displaystyle{ 4}\) braki \(\displaystyle{ k=4}\)
\(\displaystyle{ P(k)=\frac{\lambda^k}{k!}\cdot e^{-\lambda} \\ k=0\\ P(0)=\frac{0.2^0}{0!}\cdot e^{-0.2}=\approx 0.819 \\ P(1)=\frac{0.2^1}{1!}\cdot e^{-0.2}\approx 0.164 \\ P(2)=\frac{0.2^2}{2!}\cdot e^{-0.2}\approx0.016\\ P(3)=\frac{0.2^3}{3!}\cdot e^{-0.2}\approx 0.001\\ P(4)=\frac{0.2^4}{4!}\cdot e^{-0.2}\approx 0\\ P=P(0)+P(1)+P(2)+P(3)+P(4)=0.819+0.164+0.016+0.001+0=\boxed1}\)