Pytanie o niezalezność

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
Wiesiek7
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 207
Rejestracja: 18 mar 2013, o 20:30
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 49 razy
Pomógł: 11 razy

Pytanie o niezalezność

Post autor: Wiesiek7 »

Witajcie Czy z tego, że zmienne \(\displaystyle{ X_{1}, X_{2},}\) są niezależne wynika, że zmienne losowe \(\displaystyle{ X_{1}+X_{2}, X_{1}-X_{2}}\) są niezależne?
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: Pytanie o niezalezność

Post autor: Premislav »

Nie. Niech wektor losowy \(\displaystyle{ (X_1, X_2)}\) ma dwuwymiarowy rozkład normalny z wektorem średnich \(\displaystyle{ (0,0)'}\) (to nieważne; dla ustalenia uwagi) i taką macierzą kowariancji \(\displaystyle{ A}\), że
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}1&1\\1&-1\end{array}\right] A\left[\begin{array}{cc}1&1\\1&-1\end{array}\right]'}\) ma jakiś niezerowy wyraz poza główną przekątną, ale już \(\displaystyle{ A}\) nie ma niezerowych wyrazów poza główną przekątną (a to z macierzą kowariancji jest ważne). Wówczas \(\displaystyle{ X_1}\) i \(\displaystyle{ X_2}\) mają rozkład normalny, są niezależne i są kontrprzykładem. Macierz \(\displaystyle{ A}\) o wymiarach \(\displaystyle{ 2\times 2}\) sobie dobierz. Pewnie da się łatwiej, ale nienawidzę dyskretnego rachunku prawdopodobieństwa, stąd taki (kontr)przykład.
No, dokończenie kontrprzykładu pozostawiam Tobie.
Np. chyba pasuje \(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{cc}1&0\\0&2\end{array}\right]}\)
Wiesiek7
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 207
Rejestracja: 18 mar 2013, o 20:30
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 49 razy
Pomógł: 11 razy

Re: Pytanie o niezalezność

Post autor: Wiesiek7 »

Jasne, dzięki
ODPOWIEDZ