Przykład ciągu zmiennych losowych

[elmette]

Jednym z moich zadań domowych jest:

Niech \(\displaystyle{ \epsilon > 0}\). Podaj przykład ciągu zmiennych losowych \(\displaystyle{ {\{X _{i}\}}_{i}}\) o tym samym rozkładzie, takich, że \(\displaystyle{ \mathbb{E}| X_{i}| < +\infty}\) i

\(\displaystyle{ \frac{1}{n^{1-\epsilon}} \max\limits_{i\in \{1,...,n\}} X_{i}\rightarrow +\infty}\) w.g. \(\displaystyle{ \mathbb{P}}\).

W zadaniu należy określić rozkład, rodzaj zależności między zmiennymi i wkazać zbieżność.

Nie mam pomysłu jak skonstruować ten przykład. Będę wdzięczna za pomoc.

[leg14]

Moja wskazowka jest nastepujaca. Popatrz, co by sie dzialo, gdyby te zmienne losowe byly niezalezne. Jaka dystrybuanta by Ci wowczas pasowala?

[elmette]

Według mnie będzie wyglądała tak:
\(\displaystyle{ F_{y}(y)=\mathbb{P}(Y \le y)=\mathbb{P}(\frac{1}{n^{1-\epsilon}} \max\limits_{i\in \{1,...,n\}} X_{i} \le y)=\mathbb{P}(\max\limits_{i\in \{1,...,n\}} X_{i} \le y \cdot n^{1-\epsilon})=\mathbb{P}(X_{1} \le y \cdot n^{1-\epsilon} \wedge ... \wedge X_{n} \le y \cdot n^{1-\epsilon})}\)
Czy zmierzam w dobrym kierunku?

[leg14]

Miałem na mysli dystrybuantę \(\displaystyle{ X_1}\) - po prostu wybierz jakąś, która da Ci zbieżność (przy założeniu, że zmienne są niezależne)