Niezależne zmienne losowe, znaleźć gęstość rozkładu.

[dulrab]

Cześć, mam problem z takim zadaniem:

Niezależne zmienne losowe \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) mają rozkład wykładniczy o parametrze 1. Znaleźć gęstość rozkładu zmiennej losowej \(\displaystyle{ Z = X + Y}\)

Jak to w ogóle zacząć bo jedyne na co wpadłem to to:
\(\displaystyle{ \rho _{z} = x\cdot e^{-\lambda } \quad 1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l}_{}\left ( 0,\infty \right )}\)\(\displaystyle{ \left ( x \right )}\)

\(\displaystyle{ \rho _{z} = \left\{\begin{matrix}
x\cdot e^{\lambda }, x>0\\0, x
\leqslant 0
\end{matrix}\right.}\)

\(\displaystyle{ F_{z}(t) = P(X+Y\leq t) = P(X\leq t,Y\leq t-x)}\)

[Premislav]

Coś tam chyba pomieszałeś, chyba że po prostu nie rozumiem Twoich oznaczeń.
Wektor losowy \(\displaystyle{ (X, Y)}\) ma więc gęstość
\(\displaystyle{ g(x,y)= e^{-(x+y) } \quad 1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l}_{\left ( 0,\infty \right )}(x) \quad 1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l}_{\left ( 0,\infty \right )}(y)}\)
No to teraz tak: niech \(\displaystyle{ t \ge 0}\), wówczas
\(\displaystyle{ \mathbf{P}(X+Y \le t)= \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-(x+y) } \quad 1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l}_{\left ( 0,t \right )}(x+y) \quad 1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l}_{\left ( 0,\infty \right )}(x) \quad 1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l}_{\left ( 0,\infty \right )}(y) \,\dd x \,\dd y=\\=\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-(x+y) } \quad 1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l}_{\left ( -\infty,t-x \right ]}(y) \quad 1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l}_{\left ( 0,\infty \right )}(x) \quad 1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l}_{\left ( 0,\infty \right )}(y) \,\dd x \,\dd y=\\=\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-(x+y) } \quad 1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l}_{\left( 0,t-x \right ]}(y) \quad 1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l}_{\left ( 0,\infty \right )}(x) \,\dd x \,\dd y=\\=\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-(x+y) }\quad 1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l}_{\left( 0,\infty\right)}\left(t-x\right) \quad 1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l}_{\left( 0,t-x \right ]}(y) \quad 1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l}_{\left ( 0,\infty \right )}(x) \,\dd x \,\dd y=\\=\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x} \quad 1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l}_{\left( 0,\infty\right)}\left(t-x\right) \quad 1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l}_{\left ( 0,\infty \right )}(x) \int_{-\infty}^{+\infty}e^{-y} \quad 1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l}_{\left( 0,t-x \right ]}(y) \,\dd y \,\dd x=\\=\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x} \quad 1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l}_{\left( 0,\infty\right)}\left(t-x\right) \quad 1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l}_{\left ( 0,\infty \right )}(x) \int_{0}^{t-x}e^{-y} \,\dd y \,\dd x=\\=\int_{0}^{+\infty}e^{-x} \quad 1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l}_{\left( 0,\infty\right)}\left(t-x\right) \int_{0}^{t-x}e^{-y} \,\dd y \,\dd x=\\=\int_{0}^{+\infty}e^{-x} \quad 1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l}_{\left( 0,\infty\right)}\left(t-x\right) \left(1-e^{-(t-x)}\right) \,\dd x=\\= \int_{0}^{t} \left( e^{-x}-e^{-t}\right)\,\dd x=\\=1-e^{-t}-te^{-t}}\)
Zaś ponieważ z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ 1}\) zarówno \(\displaystyle{ X,}\) jak i \(\displaystyle{ Y}\) jest dodatnia, więc dla \(\displaystyle{ t<0}\) mamy \(\displaystyle{ \mathbf{P}(x+Y \le t)=0}\).
Różniczkując dystrybuantę, otrzymujesz gęstość rozkładu prawdopodobieństwa \(\displaystyle{ Z=X+Y}\):
\(\displaystyle{ g(t)=te^{-t}}\) dla \(\displaystyle{ t \ge 0}\)
Można jeszcze dodać, że jest to gęstość prawdopodobieństwa rozkładu gamma z parametrami \(\displaystyle{ \alpha=2, \beta=1}\).


Można również tak nie pierdolić się z tą dystrybuantą i od razu skorzystać z tego, że gęstość prawdopodobieństwa sumy niezależnych zmiennych losowych to splot gęstości. Obliczenia podobne, ale krótsze.

[dulrab]

To było dawno, ale dziękuję za odpowiedź.

[Premislav]

Nie ma sprawy.
O niee, odkopałeś ten wątek i dostanę bana za wulgaryzm. A nikt by nie zauważył…
W razie czego odwołam się do Strasburga i napiszę dla picu, że należę do mniejszości seksualnej, a w ogóle to być może jeden mój prapradziadek był czarny.