Zbieżność prawie na pewno i w L1

[elmette]

Mam problem z zadaniem:

Zmienne losowe \(\displaystyle{ \{ X_{i}\}}\) są niezależne i mają rozkład jednostajny na \(\displaystyle{ [0,2]}\). Definiujemy \(\displaystyle{ M_{n}= X_{1}\cdot...\cdot X_{n}}\). Zbadać zbieżność \(\displaystyle{ M_{n}}\) p.n i w \(\displaystyle{ L_{1}}\).

Bardzo proszę o jakąkolwiek pomoc.

[Premislav]

Wskazówka: popatrz sobie na \(\displaystyle{ \ln M_n}\), może łatwiej do tego będzie podejść.

\(\displaystyle{ \ln M_n= \sum_{i=1}^{n}\ln X_i}\)
Dalej, jeśli chodzi o zbieżność prawie na pewno, to przyda się twierdzenie Kołmogorowa o trzech szeregach.

-- 13 cze 2017, o 14:27 --

A nie, zaraz, przepraszam. Czy gwiazdka oznacza iloczyn, jak wyżej przyjąłem, tylko nie znałaś znaku mnożenia w latexu, czy może jednakże oznacza splot?-- 13 cze 2017, o 14:41 --W sumie to może lepiej spróbować skorzystać z Mocnego Prawa Wielkich Liczb po przejściu na logarytm.

[elmette]

Gwiazdka miała oznaczać mnożenie. Bardzo dziękuje za wskazówkę.
A czy z Mocnego Prawa Wielkich Liczb można wywnioskować zbieżność w \(\displaystyle{ L_{1}}\)? Bo jakoś nie mogę tego znaleźć.

[leg14]

Nie mozna. Miałaś martyngały?

[elmette]

Nie, nie miałam.

[Premislav]

W takim razie ja bym zaczął od zbadania zbieżności prawie na pewno, a to z prostego powodu:
zbieżność prawie na pewno implikuje zbieżność wg prawdopodobieństwa; również zbieżność w \(\displaystyle{ L_p}\) dla \(\displaystyle{ p \ge 1}\) implikuje zbieżność wg prawdopodobieństwa (wystarczy zastosować nierówność Czebyszewa w odpowiedniej formie), a ciąg zmiennych losowych nie może być zbieżny wg prawdopodobieństwa do dwóch istotnie różnych zmiennych losowych, zatem jeżeli okaże się, że
\(\displaystyle{ M_n}\) jest zbieżny prawie na pewno do pewnej zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\), to dostaniemy jedynego sensownego "kandydata" do granicy w sensie zbieżności w \(\displaystyle{ L_1}\)

[elmette]

Tylko, że nie potrafię znaleźć tego \(\displaystyle{ X}\).

[Premislav]

Ciąg \(\displaystyle{ (\ln X_i)}\) spełnia MPWL, ale okazuje się, że to nie daje zbieżności
\(\displaystyle{ \sum_{}^{} \ln X_i}\), wręcz przeciwnie, sorry. A więc okazuje się, że pierwsza myśl z twierdzeniem Kołmogorowa o trzech szeregach była dobra. Poczytaj sobie o tym twierdzeniu i spróbuj je wykorzystać do uzasadnienia, że \(\displaystyle{ \ln M_n}\) nie jest zbieżny p.n.
a więc i \(\displaystyle{ M_n}\) nie jest zbieżny p.n.

[elmette]

Wyszło mi z tego, że ten ciąg jest rozbieżny p.n. Czy mogę z tego wnioskować rozbieżność w \(\displaystyle{ L_{1}}\)?