CTG rozkład

[Micz97]

A więc tak

Zmienne losowe X i Y mają odpowiednio rozkład wykładniczy z parametrem Lambda i rozkład Poissona z parametrem u . Rozważmy ciąg niezależnych zmiennych losowych W1 , W2,W3...,które wszystkie mają rozkład identyczny jak zmienna X * Y. Co można powiedzieć o zachowaniu się ciągu sum
Sn = \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n}}\) jeśli :
A . Lambda = 5 , u = 2
B . Lambda = 3 , u =4
Zadanie podobno jest łatwe ale nie bardzo wiem o co chodzi można prosić o rozwiązanie jednego z podpunktów? Ta suma jakaś taka goła nie rozumiem....

[Premislav]

Zapewne miało być na przykład
\(\displaystyle{ S_n= \sum_{i=1}^{n}W_i}\)...
Tak jak napisałeś to nie ma niestety sensu.

[Micz97]

Ostatnio mi pięknie pomogłeś z zadaniem z rozkładem gamma , zrozumialem i zdałem Ale tu już nowe wyzwanie ....

[Premislav]

No jeżeli nie poprawisz treści, to w tym przypadku nie dam rady pomóc, bo nie umiem zgadywać.
Na pewno taką treść jak wyżej napisałeś dostałeś/zapisałeś?

[Micz97]

Niestety tak dlatego nie wiem o co chodzi ... a zakładając ze jest tak jak napisałeś wyżej z w1 to jak byś to rozwiązał ?:)

[Premislav]

Moim zdaniem tu by się jeszcze przydała informacja o niezależności \(\displaystyle{ X, Y}\)
a jak nie, to chociaż jakiś współczynnik korelacji czy coś...
Gdyby \(\displaystyle{ X, Y}\) były niezależne, to można by wyliczyć, że
\(\displaystyle{ \mathbf{E}[XY]=\mathbf{E}X \mathbf{E}Y,\\\mathrm{Var}[XY]=\mathbf{E}[XY]^2-(\mathbf{E}[XY])^2=\mathbf{E}[X^2]\mathbf{E}[Y^2]-(\mathbf{E}X \mathbf{E}Y)^2}\)
te średnie/wariancje policzyć
i wówczas na mocy centralnego twierdzenia granicznego mamy
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} \frac{W_i-\mathbf{E}W_i}{\sqrt{n \mathrm{Var } \ W_i}} \stackrel{ d}{\longrightarrow} \mathcal{N}(0,1)}\)
(jest to zbieżność wg rozkładu, tj. można o tym myśleć np. jak o punktowej zbieżności ciągu funkcji charakterystycznych do funkcji charakterystycznej rozkładu granicznego we wszystkich punktach, w których jest ona ciągła bądź o punktowej zbieżności ciągu dystrybuant do dystrybuanty rozkładu granicznego tam, gdzie jest ona ciągła).
A jeżeli \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) nie są niezależne, to ja nie umiem policzyć wartości oczekiwanej i wariancji \(\displaystyle{ XY}\) przy takim rozkładzie, jak tutaj...