Niezależne zmienne losowe

[Benny01]

Zmienne losowe \(\displaystyle{ X_1, X_2, ...}\) są niezależne o tym samym rozkładzie z \(\displaystyle{ E(X_i)=m}\), \(\displaystyle{ Var(X_i)= \sigma ^2}\), a zmienna losowa \(\displaystyle{ N}\) ma rozkład Poissona z parametrem \(\displaystyle{ \lambda}\) i jest niezależna od zmiennych \(\displaystyle{ X_i}\).
Pokazać, że \(\displaystyle{ Var( \sum_{x=1}^{N} X_i)= \lambda \cdot E(X_1^2)}\)

Mam zapisane coś takiego:
\(\displaystyle{ Var( \sum_{x=1}^{N} X_i)=Var(E( \sum_{x=1}^{N} X_i | N))+E Var( \sum_{x=1}^{N} X_i | N)}\), ale nigdzie nie mogę znaleźć z czego to wynika.

[Premislav]

Poczytaj sobie o tożsamości Walda, powinno pomóc.
W Jakubowskim i Sztenclu masz o tym w rozdziale poświęconym martyngałom. W wydaniu II jest to pod koniec paragrafu 11.1 (momenty stopu), wraz z dowodem.

[Benny01]

Znalazłem to, ale większości nie rozumiem, ponieważ nie miałem tych pojęć.