Dowód - Kwantyle - Problem

[mm_stud]

Dobry wieczór, mam problem z zadaniem o następującej treści:
Kwantylem rzędu p rozkładu zmiennej losowej X nazywamy taką liczbę \(\displaystyle{ x_{p}}\), dla której \(\displaystyle{ P(X \le x_{p}) \ge p}\) oraz \(\displaystyle{ P(X \ge x_{p}) \ge 1 - p}\), gdzie \(\displaystyle{ & 0 < p < 1&}\). W szczególności kwantyl rzędu 0.5 nazywamy medianą zmiennej losowej X. Pokazać, że jeżeli zmienna losowa X ma rozkład ciągły określony dystrybuantą F to kwantyl \(\displaystyle{ x_{p}}\) rzędu p jest jednoznacznym rozwiązaniem równania \(\displaystyle{ F(x_{p}) = p}\).

Byłbym wdzięczny za pomoc, bo oprócz zapisania warunków wymienionych w zadaniu dalej nie potrafię ruszyć naprzód.
Pozdrawiam

[janusz47]

Para nierówności w definicji kwantyla rzędu \(\displaystyle{ p}\) jest równoważna nierówności podwójnej:

\(\displaystyle{ p - P(X=x_{p}) \leq F(x_{p}) \leq p,}\)

Jeżeli \(\displaystyle{ X}\) jest zmienną absolutnie ciągłą, to \(\displaystyle{ P(x = x_{p}) =0}\) i wówczas

\(\displaystyle{ (p \leq F(x_{p}) \leq p) \rightarrow ( F(x_{p}) = p).}\)

albo

z pierwszej nierówności definicji kwantyla rzędu \(\displaystyle{ p}\):

\(\displaystyle{ F(x_{p})\geq p}\) (1)

Z drugiej nierówności definicji kwantyla rzędu \(\displaystyle{ p}\):

\(\displaystyle{ ( P(X \geq x_{p})= 1 - F(x_{p}) \geq 1 -p) \rightarrow ( F(x_{p}) \leq p}\) (2)

Z (1) i (2)

\(\displaystyle{ F(x_{p}) = p.}\)

[mm_stud]

Dziękuję serdecznie.
Pozdrawiam