Zmienna losowa podlega rozkładowi

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
Mrdo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 30 maja 2017, o 16:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 2 razy

Zmienna losowa podlega rozkładowi

Post autor: Mrdo »

Witam,

Mam problem z takim zadaniem.
Zmienna losowa Y podlega rozkładowi według funkcji gęstości:
\(\displaystyle{ f(x)= \left\{\begin{array}{l} 0 \hbox{ dla }x \le 0 \\cx \hbox{ dla } 0 < x \le 3 \\0 \hbox{ dla }x > 3\end{array}}\)

Wyznacz tak stałą B aby podana funkcja była funkcją gęstości
1. Czy to oznacza, że zawsze w przypadku takiego polecenia, pole pomiędzy tą funkcją a osią OX musi być równe 1?
2. Czy to oznacza, że zawsze w przypadku takiego polecenia muszę całą funkcję gęstości przyrównać do 1? Tak jak poniżej:

Wtedy:

\(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{0} 0dx + \int_{0}^{3} cxdx + \int_{3}^{+\infty} 0dx = 1}\)

\(\displaystyle{ \int_{0}^{3} cxdx = 1}\)

\(\displaystyle{ C\frac{x^{2}}{3} \right|_{0}^{3} = 1}\)

(tutaj na górze chciałem dać ten długi pionowy znak po lewej od 0 i 3)

\(\displaystyle{ C\frac{3^{2}}{3} - C\frac{0^{2}}{3} = 1}\)

\(\displaystyle{ C\frac{3^{2}}{3} - C\frac{0^{2}}{3} = 1}\)

\(\displaystyle{ 3C - 0 = 1}\)

\(\displaystyle{ 3C = 1}\)

\(\displaystyle{ C = \frac{1}{3}}\)

Czy to jest prawidłowe rozwiązanie?

Pozdrawiam
Ostatnio zmieniony 30 maja 2017, o 18:00 przez Mrdo, łącznie zmieniany 2 razy.
Awatar użytkownika
leg14
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3132
Rejestracja: 5 lis 2014, o 20:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 154 razy
Pomógł: 475 razy

Zmienna losowa podlega rozkładowi

Post autor: leg14 »

Tak, Tak
Mrdo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 30 maja 2017, o 16:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 2 razy

Re: Zmienna losowa podlega rozkładowi

Post autor: Mrdo »

Ok, a czy to rozwiązanie które poprowadziłem jest też prawidłowe?
Ponieważ robie to z wzoru zadań chciałem się dopytać dlaczego (i czy aby na pewno) ma znajdować się znak do kwadratu. Rozumiem, że trójka w mianownikach i liczniku to są granice przedziału, ale dlaczego to jest do kwadratu?

\(\displaystyle{ C\frac{3^{2}}{3} - C\frac{0^{2}}{3} = 1}\)

\(\displaystyle{ C\frac{3^{2}}{3} - C\frac{0^{2}}{3} = 1}\)
Awatar użytkownika
leg14
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3132
Rejestracja: 5 lis 2014, o 20:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 154 razy
Pomógł: 475 razy

Re: Zmienna losowa podlega rozkładowi

Post autor: leg14 »

Nie no to rozwiązanie jest złe. Całka noiezonaczaona \(\displaystyle{ \int_{}^{} xdx}\) jest równa \(\displaystyle{ \frac{1}{2}x^2}\).
Mrdo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 30 maja 2017, o 16:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 2 razy

Re: Zmienna losowa podlega rozkładowi

Post autor: Mrdo »

Dobrze, no to jeżeli:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{2} cxdx = 1}\)

\(\displaystyle{ c \frac{x ^{2} }{2} \Bigg|_0^{2} = 1}\)

\(\displaystyle{ c \frac{2 ^{2} }{2} - c \frac{0 ^{2} }{2} = 1}\)

\(\displaystyle{ 2c = 1}\)

\(\displaystyle{ c = \frac{1}{2}}\)

1. Dlaczego tutaj muszę brać do potęgi drugiej te mianowniki, to jest po prostu taki mechanizm przy rozwiązywaniu całek?

2. Jak w takim razie poprowadzić (w tych samych krokach) rozwiązanie dla:

\(\displaystyle{ \int_{0}^{3} cxdx = 1}\)
Awatar użytkownika
leg14
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3132
Rejestracja: 5 lis 2014, o 20:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 154 razy
Pomógł: 475 razy

Zmienna losowa podlega rozkładowi

Post autor: leg14 »

Nie rozumiem o co Ci chodzi szczerze mówiąc. Przecież żaden mianownik nie jest w 2 potędze.
2. Jak w takim razie poprowadzić (w tych samych krokach) rozwiązanie dla:
A rozumiesz co tam się dzieje? Przecież wystarczy zamienić 2 na 3
Mrdo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 30 maja 2017, o 16:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 2 razy

Re: Zmienna losowa podlega rozkładowi

Post autor: Mrdo »

Oczywiście chodziło mi o liczniki, mój błąd.

No dobrze, właśnie chodzi o to że nie rozumiem. Czy mam zamienić te 2 na 3 tylko w liczniku czy też w mianowniku? Przepraszam, jestem w tych kwestiach kompletnym amatorem.

Czy ta dwójka w mianowniku ma być zawsze, i zamieniam tylko licznik, tak?
Awatar użytkownika
leg14
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3132
Rejestracja: 5 lis 2014, o 20:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 154 razy
Pomógł: 475 razy

Zmienna losowa podlega rozkładowi

Post autor: leg14 »

Ale wiesz ile jest równa całka \(\displaystyle{ \int_{}^{} x dx}\)?
Mrdo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 30 maja 2017, o 16:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 2 razy

Re: Zmienna losowa podlega rozkładowi

Post autor: Mrdo »

Aaa, rozumiem.

1. Czyli:
\(\displaystyle{ \int_{}^{} x dx =\frac{1}{2}x^2}\)

Czyli jeżeli:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{3} cxdx = 1}\)
to
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}3^2 = 1}\)
tak?

Czyli dla
\(\displaystyle{ \int_{0}^{3} cxdx = 1}\)

\(\displaystyle{ c\frac{1}{2}3^2 = 1}\)

\(\displaystyle{ 4,5c= 1}\)
\(\displaystyle{ c= \frac{1}{ \frac{4}{5} }}\)

\(\displaystyle{ c= \frac{5}{4}}\)
?



2. Czy
\(\displaystyle{ c\frac{1}{2}3^2}\)
to to samo co to?
\(\displaystyle{ c \frac{3 ^{2} }{2}}\)
Awatar użytkownika
leg14
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3132
Rejestracja: 5 lis 2014, o 20:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 154 razy
Pomógł: 475 razy

Re: Zmienna losowa podlega rozkładowi

Post autor: leg14 »

Czyli jeżeli:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{3} cxdx = 1}\)
to
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}3^2 = 1}\)
tak?
\(\displaystyle{ c}\) zgubiłes przed 0.5.
Czyli dla \(\displaystyle{ c =\frac{5}{4}}\)
Tak.
\(\displaystyle{ c\frac{1}{2}3^2}\) to to samo co to \(\displaystyle{ c \frac{3 ^{2} }{2}}\) ?
Tak, nie traktuj tego jako atak - przed całkowaniem warto sobie powtórzyć ułamki, jak nie czujesz się pewnie w podstawach algebry.
Mrdo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 30 maja 2017, o 16:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 2 razy

Re: Zmienna losowa podlega rozkładowi

Post autor: Mrdo »

Dzięki, rzeczywiście powinienem to zrobić.


W nawiązaniu do wczorajszego rozwiązania, to chyba się pomyliłem bo:
\(\displaystyle{ 4,5c= 1}\)

\(\displaystyle{ c= \frac{1}{ \frac{45}{10} }}\)

czyli

\(\displaystyle{ c= 1 \cdot { \frac{10}{45} }}\)

\(\displaystyle{ c= { \frac{10}{45} }}\)

\(\displaystyle{ c= { \frac{2}{9} }}\)

Chyba raczej tak, prawda?


2. Dystrybuanta.

Muszę obliczyć dystrybuanty dla:

\(\displaystyle{ f(x)= \left\{\begin{array}{l} 0 \hbox{ dla }x \le 0 \\cx \hbox{ dla } 0 < x \le 2 \\0 \hbox{ dla }x > 2\end{array}}\)

Rozumiem, że dystrybuanty dla
\(\displaystyle{ f(x)=0}\) wynosi zero czyli dystrybuanta też wynosi 0.

Dalej:

Dla \(\displaystyle{ x \in (0;2>}\) funkcja jest równa \(\displaystyle{ f(x)= \frac{1}{2}x}\)

I tutaj pojawiają się dalsze obliczenia:

\(\displaystyle{ F(x)= P(X<x) = \int_{- \infty }^{x} f(x)dx + \int_{0}^{x} mdm = 0 + \frac{m ^{2} }{4}
\Bigg|_0^{x}= \frac{x^{2}}{4} + \frac{0^{2}}{4} = \frac{x^{2}}{4}}\)


(Dałem zamiast x zmienną m, żeby się nie pomylić)

Moje pytania są następujące:
1. Jakie działanie muszę wykonać tym elementem \(\displaystyle{ \Bigg|_0^{x}}\)?
2. Dlaczego dalej \(\displaystyle{ \int_{0}^{x} mdm}\) zamienia się dalej w liczeniu dystrybuanty w \(\displaystyle{ = \frac{m ^{2} }{4}
\Bigg|_0^{x}}\)
i skąd biorą się dalsze liczby \(\displaystyle{ \frac{x^{2}}{4} + \frac{0^{2}}{4} = \frac{x^{2}}{4}}\)

Z góry dziękuję
Awatar użytkownika
leg14
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3132
Rejestracja: 5 lis 2014, o 20:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 154 razy
Pomógł: 475 razy

Re: Zmienna losowa podlega rozkładowi

Post autor: leg14 »

Chyba raczej tak, prawda?
Tak.
Jakbyś zamiast \(\displaystyle{ x}\) miał liczbę , np. 10. To \(\displaystyle{ \int_{0}^{10} mdm =\frac{m ^{2} }{4} \Bigg|_0^{10} = \frac{10 ^{2} }{4} - \frac{0 ^{2} }{4}}\) (za m podstawiliśmy najpierw 10, a poznniej 0 - ta ksie definiuje symbol \(\displaystyle{ \Bigg|_0^{10}}\). No to teraz \(\displaystyle{ x}\) traktujesz jako parametr, czyli jest jakąś liczbę, ale nei wiesz jaką i postępujesz tak samo.
Mrdo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 30 maja 2017, o 16:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 2 razy

Re: Zmienna losowa podlega rozkładowi

Post autor: Mrdo »

Rozumiem, a apropo poprzedniego posta - czy jeżeli f(x) wynosi 0 to dystrybuanta też jest równa wtedy 0? Na przykładzie tego przedziału, czy w innych przypadkach też tak będzie? Czy też musi być spełniony warunek, że x musi być mniejszy od zera?
\(\displaystyle{ f(x)= \left\{\begin{array}{l} 0 \hbox{ dla }x \le 0 \\cx \hbox{ dla } 0 < x \le 3 \\0 \hbox{ dla }x > 3\end{array}}\)
ODPOWIEDZ