funkcja prawdopodobieństwa, wartości przeciętne, wariancja

[ichimera21]

Niezależne zmienne losowe X i Y mają jednakową funkcję prawdopodobieństwa:

\(\displaystyle{ \left x_{i} | \right 0| \left 1| \right 2|}\)
\(\displaystyle{ \left p_{i} | \right \frac{1}{3} | \left \frac{1}{3}| \right \frac{1}{3}|}\)


niech

\(\displaystyle{ U_{1} =X+Y,}\)
\(\displaystyle{ U_{2} =2 \cdot X,}\)
\(\displaystyle{ U_{3} =X \cdot Y,}\)
\(\displaystyle{ U_{4} =X ^{2}}\)



Dla zmiennych losowych \(\displaystyle{ U_{i}}\) wyznaczyć:
a) ich funkcje prawdopodobieństwa
b) wartości przeciętne
c) wariancje

Porównać otrzymane rezultaty dla zmiennych losowych \(\displaystyle{ U_{1}}\) i \(\displaystyle{ U_{2}}\) oraz \(\displaystyle{ U_{3}}\) i \(\displaystyle{ U_{4}}\).

[SlotaWoj]

Zadanie dla \(\displaystyle{ U_1=X+Y}\):

• \(\displaystyle{ \begin{array}{|c|ccc|}
  \hline
  X+Y&X=0&X=1&X=2 \\
  \hline
  Y=0&0&1&2 \\
  Y=1&1&2&3 \\
  Y=2&2&3&4 \\
  \hline
  \end{array}\quad p_i=\frac{1}{9}\quad\quad
  \begin{array}{|c|ccccc|}
  \hline
  U_{1j}&0&1&2&3&4 \\
  \hline
  &&&&& \\
  p_j&\frac{1}{9}&\frac{2}{9}&\frac{3}{9}&\frac{2}{9}&\frac{1}{9} \\
  &&&&& \\
  \hline
  \end{array}
  \quad\quad\text{etc.}}\)