Wyznaczanie gęstości rozkładu zmiennej losowej

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
Bursztyncio
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 80
Rejestracja: 24 lis 2015, o 23:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 34 razy

Wyznaczanie gęstości rozkładu zmiennej losowej

Post autor: Bursztyncio »

\(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach jednostajnych na odcinku \(\displaystyle{ (0,1)}\). Wyznaczyć gęstość rozkładu zmiennej losowej \(\displaystyle{ Z = -\ln(XY)}\).

Rozwiązanie:

\(\displaystyle{ X \sim \mathbf{1}_{(0,1)} (x), \ \ \ Y \sim \mathbf{1}_{(0,1)} (y)}\)

\(\displaystyle{ F_Z(z) = P(Z \leq t) = P(- \ln(XY) \leq t) = P(\ln(XY) \geq -t) = P(XY \geq e^{-t}) = \iint_{XY \geq e^{-t}} \mathbf{1}_{(0,1)}(x) \cdot \mathbf{1}_{(0,1)}(y) \ dx \ dy = \iint_{XY \geq e^{-t}} \mathbf{1}_{(0,1)^2} (x,y) \ dx \ dy}\)

Nie wiem jak obliczyć tę całkę. Na zajęciach wprowadzaliśmy współrzędne biegunowe (\(\displaystyle{ x = r \cos(\varphi), y = r \sin(\varphi)}\)), wtedy obszar całkowania to \(\displaystyle{ r \cos(\varphi) \cdot r \sin(\varphi) \geq e^{-t} \ \Rightarrow \ \frac{1}{2} r^2 \sin(2 \varphi) \geq e^{-t}}\), ale \(\displaystyle{ r}\) się tutaj nie skraca i nie wiem jak wyznaczyć granice całkowania dla \(\displaystyle{ r}\) i \(\displaystyle{ \varphi}\).
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: Wyznaczanie gęstości rozkładu zmiennej losowej

Post autor: Premislav »

Ja i tak wierzę w Buddę, a poza tym nie uważam, żeby współrzędne biegunowe cokolwiek tu dawały, co najwyżej komplikują. Ja to spróbuję policzyć prawie bez liczenia.
Fakt nr 1: jeżeli \(\displaystyle{ X}\) jest zmienną losową o rozkładzie jednostajnym na odcinku \(\displaystyle{ (0,1)}\), to \(\displaystyle{ -\ln X}\) ma rozkład wykładniczy z parametrem \(\displaystyle{ \lambda=1}\).
Dowód: pozostawiam to do samodzielnego przeliczenia przez Ciebie.
Fakt nr 2: rozkład wykładniczy z parametrem \(\displaystyle{ \lambda}\) to innymi słowy rozkład gamma \(\displaystyle{ \Gamma(1, \lambda)}\) - wprost z postaci gęstości rozkładu wykładniczego i gamma.
Fakt nr 3: jeżeli \(\displaystyle{ X \sim \Gamma(\alpha_1, \beta)}\) oraz \(\displaystyle{ Y\sim \Gamma(\alpha_2, \beta)}\), a także \(\displaystyle{ X, Y}\)są niezależne, to \(\displaystyle{ X+Y\sim \Gamma(\alpha_1+\alpha_2, \beta)}\)
Dowód: co kto lubi, można przeliczyć na funkcjach charakterystycznych/ew. na funkcjach tworzących momenty (ja tak wolę), a można powalczyć ze splotem (to też nie jest złe).
Fakt nr 4 (Międzynarodowa Olimpiada Matematyczna): \(\displaystyle{ -\ln XY=-\ln X-\ln Y=-\ln X+(-\ln Y)}\)
gdy \(\displaystyle{ X, Y>0}\).
Połącz te fakty, a otrzymasz rozwiązanie zadania.-- 25 maja 2017, o 21:31 --Aha, powinien z tego finalnie wyjść rozkład gamma z parametrami \(\displaystyle{ (2,1)}\), ma on następującą funkcję gęstości:
\(\displaystyle{ g(t)=\mathbf{1}_{(0,+\infty)}(t)te^{-t}}\)
bo \(\displaystyle{ \Gamma(2)=1!=1}\) (tutaj chodzi o funkcję gamma).
ODPOWIEDZ