Rozkład wektora losowego

[Bursztyncio]

Cześć wszystkim!

Moje zadanie to:

Łączny rozkład wektora losowego \(\displaystyle{ (X,Y)}\) dany jest gęstością:

\(\displaystyle{ f(x,y) = e^{x-y} \cdot 1_{A}(x,y)}\), gdzie \(\displaystyle{ A = \left\{ 0 \le x < 1 \land y \ge x\right\}}\)

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(\displaystyle{ \left\{ X + Y < 2\right\}}\)

Rozpisuję funkcję gęstości: \(\displaystyle{ f(x,y) = egin{cases} e^{x-y}, dla x in left[ 0;1
ight) land y in left[ x;infty
ight) \ 0, dla x
otin left[ 0;1
ight) lor y
otin left[ x;infty
ight) end{cases}}\)

Rozkład jest ciągły, więc może policzyć gęstości brzegowe, później sprawdzić, czy zmienne \(\displaystyle{ X i Y}\) są niezależne. Jeśli tak, to skorzystać z definicji splotu i policzyć z niej całkę, by otrzymać dystybuantę?

Wtedy, rozpisując \(\displaystyle{ P(X+Y < 2) = F_{X+Y}(2)}\) i mając tę dystrybuantę dostanę wynik. Czy to dobre rozumowanie? Jeśli tak, to co zrobić gdy nie dostanę niezależności? Proszę o wytłumaczenie

[AloneAngel]

Jeżeli masz gęstość \(\displaystyle{ f}\) wektora losowego \(\displaystyle{ (X,Y)}\) to (zapis mało formalny)

\(\displaystyle{ P(X+Y < 2 ) = \int_{\{X+Y < 2 \} } f(x,y) dxdy .}\)

Czyli musisz scałkować funkcję gęstości po obszarze \(\displaystyle{ \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 : \ x+y < 2 \}.}\)