Wyznacz prawdopodobieństwo znając gęstość

[Klaudiia]

Mierzona temperatura ma rozkład \(\displaystyle{ f(t)=1/2e^{-|t|}}\). Wyznacz prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ P(|t|<1)}\).

Czy dobrze myślę, że \(\displaystyle{ P(|t|<1)=F(t=1)-F(t=-1)}\)?
\(\displaystyle{ F(t)}\) otrzymać mogę licząc całkę z \(\displaystyle{ f(t)}\)? Jak policzyć tę całkę z \(\displaystyle{ e^{-|t|}}\)?

Czy jest prostszy sposób?

[Premislav]

Tak, dokładniej \(\displaystyle{ \mathbf{P}(|t|<1)=F(1)-F(-1)}\) (bo mamy tu rozkład ciągły).
Co do obliczenia całki, można rozbić na przedziały, zauważając, że
\(\displaystyle{ e^{-|t|}= \begin{cases}e^{-t} \text{ gdy } t \ge 0 \\ e^t \text{ gdy }t<0 \end{cases}}\)

[Klaudiia]

Hmm... Liczyłam w ten sposób:
1. Funkcja gęstości:
\(\displaystyle{ f(t)=\frac{1}{2}e^{-|t|}=\begin{cases} \frac{1}{2}e^{-t} &\text{dla } t \ge 0\\\frac{1}{2}e^{t} &\text{dla } t<0 \end{cases}}\)

2. Wtedy dystrybuanta:
\(\displaystyle{ F(t)=\begin{cases} -\frac{1}{2}e^{-t} &\text{dla } t \ge 0\\\frac{1}{2}e^{t} &\text{dla } t<0 \end{cases}}\)

3. \(\displaystyle{ F(1)=-\frac{1}{2}e^{-1}}\)
\(\displaystyle{ F(-1)=\frac{1}{2}e^{-1}}\)

Wtedy \(\displaystyle{ P(|t|<1)=F(1)-F(-1)=-e^{-1}}\). Co jest nie tak?

[Premislav]

Od razu widać, że jest źle na etapie wyznaczania dystrybuanty, a to dlatego, że dystrybuanta jest funkcją prawostronnie ciągłą, niemalejącą, mającą granice \(\displaystyle{ 0}\) w \(\displaystyle{ -\infty}\) i \(\displaystyle{ 1}\) w \(\displaystyle{ +\infty}\)
Mamy
\(\displaystyle{ F(x)= \int_{-\infty}^{x}f(t) \,\dd t= \int_{-\infty}^{x}\frac 1 2 e^{-|t|} \,\dd t=\\= \begin{cases} \int_{-\infty}^{x}\frac 1 2 e^t \,\dd t \text{ gdy } x\le 0 \\ \int_{-\infty}^{0}\frac 1 2 e^t \,\dd t+ \int_{0}^{x}\frac 1 2 e^{-t} \,\dd t \text{ gdy } x>0 \end{cases}}\)
Stąd \(\displaystyle{ F(-1)=\frac 1 2e^{-1}}\) oraz \(\displaystyle{ F(1)=\frac 1 2+ \int_{0}^{1}\frac 1 2e^{-t}\,\dd t =1-\frac 1 2e^{-1}}\)
Zatem szukane prawdopodobieństwo wynosi \(\displaystyle{ F(1)-F(-1)=1-e^{-1}}\)

[Klaudiia]

I wszystko jasne! Dzięki