Wartość oczekiwana wygranej

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
Klaudiia
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12
Rejestracja: 10 maja 2017, o 13:56
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 4 razy

Wartość oczekiwana wygranej

Post autor: Klaudiia »

Rzucamy N razy idealną monetą, przy czym, jeśli w \(\displaystyle{ k}\)-tym rzucie wypadnie orzeł, to grający wygrywa \(\displaystyle{ 2^k}\) złotych, jeśli reszka - nie wygrywa nic. Jaka jest oczekiwana wygrana w tej grze?

Czy dobrze rozumiem treść: nieważne co wypadło we wcześniejszych rzutach, liczy się tylko wynik k-tego rzutu?
Nie wiem jak to ugryźć... Prawdopodobieństwo orła w każdym rzucie jest równe \(\displaystyle{ 1/2}\). Wygrana zależy od liczby \(\displaystyle{ k}\):
\(\displaystyle{ k=1}\). rzut -> 2zł
\(\displaystyle{ k=2}\). rzut -> 4zł
\(\displaystyle{ k=3}\). rzut -> 8zł
\(\displaystyle{ k=4}\). rzut -> 16zł
\(\displaystyle{ k=5}\). rzut -> 32zł
\(\displaystyle{ k=6}\). rzut -> 64zł
\(\displaystyle{ k=7}\). rzut -> 128zł
...
Rzucamy \(\displaystyle{ N}\) razy. Jak policzyć oczekiwaną wygraną?
Ostatnio zmieniony 10 maja 2017, o 15:14 przez AiDi, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Wartość oczekiwana wygranej

Post autor: Premislav »

Wygrana w k-tym rzucie \(\displaystyle{ X_k}\) sama w sobie jest zmienną losową o rozkładzie dwupunktowym, z
\(\displaystyle{ \mathbf{P}(X_k)=0=\frac 1 2, \mathbf{P}(X_k=2^k)=\frac 1 2}\)
Zatem jej wartość oczekiwana to
\(\displaystyle{ \mathbf{E}X_k=\frac 1 2\cdot 0+\frac 1 2\cdot 2^k=2^{k-1}}\)
Niech \(\displaystyle{ X}\) - wygrana w całej grze, wówczas
\(\displaystyle{ X= \sum_{k=1}^{N} X_k}\) i mamy, z uwagi na addytywność wartości oczekiwanej,
\(\displaystyle{ \mathbf{E}X=\sum_{k=1}^N \mathbf{E}X_k=2^N-1}\)
Klaudiia
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12
Rejestracja: 10 maja 2017, o 13:56
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 4 razy

Wartość oczekiwana wygranej

Post autor: Klaudiia »

Dzięki, ale nie rozumiem jeszcze wyniku tej ostatniej sumy... Czy jest to jakiś wzór? Próbowałam coś znaleźć, ale nie mogę.
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Wartość oczekiwana wygranej

Post autor: Premislav »

Ze wzoru na sumę początkowych wyrazów ciągu geometrycznego:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}a_1q^{k-1}=a_1 \frac{q^{n}-1}{q-1}}\)
Podstaw \(\displaystyle{ a_1=1, q=2}\)
Klaudiia
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12
Rejestracja: 10 maja 2017, o 13:56
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 4 razy

Wartość oczekiwana wygranej

Post autor: Klaudiia »

Super! Wszystko jasne:)
ODPOWIEDZ