Podaj rozkład zmiennej losowej

[Klaudiia]

Zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład Poissona z wartością średnią \(\displaystyle{ a=5}\). Podać rozkład zmiennej losowej \(\displaystyle{ U=2X}\).

[Premislav]

Zatem parametr \(\displaystyle{ \lambda}\) w rozkładzie zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\) wynosi \(\displaystyle{ 5}\). Zauważ, że \(\displaystyle{ e^{-5} \frac{5^k}{k!}=\mathbf{P}(X=k)=\mathbf{P}(2X=2k)=\mathbf{P}(U=2k), k=0,1,2\dots}\)

[Klaudiia]

Czyli rozkład jest taki sam? Nie rozumiem za bardzo...

[Premislav]

Oczywiście, że nie jest taki sam. Zmienna losowa \(\displaystyle{ U=2X}\) jest skupiona na zbiorze \(\displaystyle{ 2\NN=\left\{ 2\cdot n: n \in \NN\right\}}\) (czyli liczb parzystych), co wynika bezpośrednio z moich przekształceń.

[Klaudiia]

1. Czyli jak miałabym zapisać odpowiedź? \(\displaystyle{ e^{-5}\frac{5^{2k}}{(2k)!}?}\)
2. A gdyby \(\displaystyle{ U=ln X}\)?

[Premislav]

To nie jest wyczerpująca odpowiedź, poza tym nie jest poprawnie. Ja bym napisał jak wyżej:
\(\displaystyle{ \mathbf{P}(U=2k)=e^{-5} \frac{5^k}{k!}, k \in \NN}\)
Np. zmienna losowa \(\displaystyle{ U}\) przyjmie wartość \(\displaystyle{ 2}\) z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ 5e^{-5}=e^{-5}\frac{5^1}{1!}}\), a nie \(\displaystyle{ \frac{25}{2}e^{-5},}\)


Co do \(\displaystyle{ \ln X}\) (jeśli \(\displaystyle{ X}\) dalej ma rozkład Poissona), to nie jest ona dobrze określona z uwagi na to, że z dodatnim prawdopodobieństwem może być \(\displaystyle{ X=0}\).