Piłeczki w pudełku, ponumerowane.

[misi123456]

Witam, mam problem z rozwiązaniem , a przede wszystkim ze zrozumieniem treści zadania:
W pudełku znajduje się \(\displaystyle{ 8}\) piłeczek oznaczonych kolejnymi liczbami naturalnymi od \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ 8}\). Losujemy jedną piłeczkę, zapisujemy liczbę na niej występująca, a następnie zwracamy piłeczkę do urny. Tę procedurę wykonujemy jeszcze dwa razy i tym samym otrzymujemy zapisane trzy liczby. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania takich piłeczek, że iloczyn trzech zapisanych liczb jest podzielny przez \(\displaystyle{ 4}\). Wynik podaj w postaci ułamka zwykłego. Bardzo proszę o pomoc.

[Premislav]

\(\displaystyle{ |\Omega|=8^3}\) - za każdym razem mamy osiem możliwości, bo losujemy ze zwracaniem.
Niech \(\displaystyle{ A}\) - zdarzenie polegające na tym, że wylosowaliśmy liczby, których iloczyn jest podzielny przez \(\displaystyle{ 4}\).
Zdarzenie \(\displaystyle{ A}\) oznacza, że wylosowaliśmy dwie liczby dające resztę \(\displaystyle{ 2}\) z dzielenia przez \(\displaystyle{ 4}\) albo co najmniej jedną liczbę podzielną przez \(\displaystyle{ 4}\).
Układów, w których nie ma żadnej liczby podzielnej przez \(\displaystyle{ 4}\) jest \(\displaystyle{ 6^3}\) - ograniczamy się do \(\displaystyle{ \left\{ 1,2,3,5,6,7\right\}}\). Zatem układów, w których wystąpiła liczba podzielna przez \(\displaystyle{ 4}\) mamy \(\displaystyle{ 8^3-6^3}\). To teraz zliczmy te układy, w których nie ma liczby podzielnej przez \(\displaystyle{ 4}\), ale za to wystąpiły co najmniej dwie dające resztę \(\displaystyle{ 2}\) z dzielenia przez \(\displaystyle{ 4}\). O tym też wygodnie jest myśleć przez dopełnienie: jest
\(\displaystyle{ 4^3}\) układów, w których w ogóle nie wystąpiła liczba parzysta oraz \(\displaystyle{ {2 \choose 1}{3 \choose 1}4^2}\) układów, w których wystąpiła dokładnie raz liczba parzysta, i to dająca resztę \(\displaystyle{ 2}\) z dzielenia przez \(\displaystyle{ 4}\) (wybieramy liczbę parzystą \(\displaystyle{ 2}\) albo \(\displaystyle{ 6}\) na \(\displaystyle{ {2 \choose 1}}\)sposobów, wybieramy miejsce, na którym ona będzie na \(\displaystyle{ {3 \choose 1}}\) sposobów, resztę zapełniamy nieparzystymi).
Zatem układów, w których najwyżej raz wystąpiła liczba parzysta i jeśli już, to była to liczba dająca resztę \(\displaystyle{ 2}\) z dzielenia przez \(\displaystyle{ 4}\) mamy tyle: \(\displaystyle{ 4^3+6 \cdot 4^2}\).
Czyli takich układów, w których wystąpiła co najmniej dwa razy taka liczba, natomiast nie wystąpiła liczba podzielna przez \(\displaystyle{ 4}\), jest
\(\displaystyle{ 6^3-4^3-6\cdot 4^2}\)
Sumując te dwa przypadki: \(\displaystyle{ |A|=(8^3-6^3)+(6^3-4^3-6 \cdot 4^2)=8^3-4^3-6\cdot 4^2}\). Czyli
\(\displaystyle{ \mathbf{P}(A)= \frac{|A|}{|\Omega|}= \frac{8^3-4^3-6\cdot 4^2}{8^3}= \frac{11}{16}}\)
Zapisywałem to rozwiązanie z 20 minut, długo jak na maturę. Ale może po prostu bardzo wolny jestem. Poza tym nigdy nie lubiłem prawdopodobieństwa klasycznego.

[misi123456]

Pudełko to nie urna więc odkładamy do innego przedmiotu piłeczki. Treść jest śmieszna Ale dziękuję za jeden ze sposób rozwiązania zadania-- 9 maja 2017, o 14:42 --A co sądzisz o treści? Rozwiązałem to zadanie z założeniem, iż jest to zwrot piłeczek do pudełka, ale treść jest sporna bo urna nie jest równa pudełku , jak pytałem ludzi co o tym myślą to każdy mówił o innym sposobie rozwiązania ( z powtórzeniami i bez powtórzeń )

[matik24]

misi chyba możesz mieć rację,nie zauważyłem tego i pewnie będę miał źle

[Premislav]

Co do treści, faktycznie jest dziwna, ale ja bym przyjął założenie, że to nie Olimpiada Literatury i Języka Polskiego i chodziło o to samo (tj. ze zwracaniem).
Ja, jak widać, liczyłem tak, że kolejność miała znaczenie. Zresztą wydaje mi się to naturalnym podejściem.

[matik24]

chyba zrobiłem bład w obliczeniach,myślicie,że ile mogę dostac pkt za to zadanie jesli napisałem tylko omegę, opisałem zbiór A i dalej liczyłem popełniając błedy i nie piszac komentarzy?

[misi123456]

Premislav mam świadomość tylko, jeżeli ktoś siada do zadania rozwiązuje je a na koniec, gdy sprawdza zadanie już któryś raz z kolei z ponownym przeczytaniem treści, odczytuje coś takiego to po np 2 godzinach robienia zadań nie wiadomo o co chodzi. No właśnie to nie Olimpiada Literatury więc nie będziemy się domyślali czy urna to synonim słowa pudełko. Zresztą samo słowo zwracać to oznacza że odkładać coś na swoje miejsce ( w tym wypadku pudełko). Zastanawia mnie czy to zadanie pisał ścisłowiec czy poeta.

[Jan Kraszewski]

Dla mnie oczywiste jest, że pudełko = urna, ale jest to niedopatrzenie CKE - po co tworzyć niepotrzebne wątpliwości? Tutaj ważny jest też czasownik "zwracamy", czyli oddajemy tam, skąd wzięliśmy (a nie np. "odkładamy").

chyba zrobiłem bład w obliczeniach,myślicie,że ile mogę dostac pkt za to zadanie jesli napisałem tylko omegę, opisałem zbiór A i dalej liczyłem popełniając błedy i nie piszac komentarzy?

Może jeden.

JK

[misi123456]

Były przypadki w historii matur, że nie oceniali jakiegoś zadania z powodu niejasności treści?

[Jan Kraszewski]

Były, ale w tym przypadku nie nastawiałbym się na to przesadnie - nie sądzę, by zostało to uznane za niejasność.

JK