wartość oczekiwana i wariancja

[Elek112]

\(\displaystyle{ 100}\) osób ustawiamy losowo w szeregu. Są wśród nich Adam i Zofia. Niech \(\displaystyle{ X}\) oznacza liczbę osób stojących między nimi. Wyznaczy \(\displaystyle{ EX}\) i \(\displaystyle{ VarX}\).

[kerajs]

\(\displaystyle{ p(k)= \frac{99-k}{50 \cdot 99} \\
E(X)= \sum_{k=0}^{98}k \cdot p(k)= \sum_{k=0}^{98}\frac{k(99-k)}{50 \cdot 99}=\frac{1}{50 \cdot 99}\sum_{k=0}^{98}k(99-k)\\
Var(X)=E(X^2)-\left[ E(X)\right]^2= \frac{1}{50 \cdot 99}\sum_{k=0}^{98}k^2(99-k)-\left[ \frac{1}{50 \cdot 99}\sum_{k=0}^{98}k(99-k)\right]^2}\)

Pozostaje Ci to policzyć.

[Elek112]

Dlaczego p(k) jest wlasnie takie? Mógłbym prosić o jakiś komentarz, bo nie za bardzo rozumiem

[kerajs]

0)
Zofia i Adam stoją obok siebie czyli \(\displaystyle{ X=0}\)
Mamy 100 pozycji na których mamy umieścić 100 osób . Adama i Zofię na 2 sposoby ustawiam w dwupozycyjny klocek który mogę umieścić na 99 sposobów. Pozostałe osoby ustawiam na \(\displaystyle{ 98!}\) sposobów.
\(\displaystyle{ p(0)= \frac{2 \cdot 99 \cdot 98!}{100!}= \frac{2 \cdot 99}{100 \cdot 99}= \frac{99}{50 \cdot 99}}\)
1)
\(\displaystyle{ X=1}\)
Adama i Zofię na 2 sposoby ustawiam w trójpozycyjny klocek (z pustą jedną pozycją w środku) który mogę umieścić na \(\displaystyle{ 98=99-1}\) sposobów. Pozostałe osoby ustawiam na \(\displaystyle{ 98!}\) sposobów.
\(\displaystyle{ p(1)= \frac{2 \cdot 98 \cdot 98!}{100!}= \frac{2 \cdot 98}{100 \cdot 99}= \frac{98}{50 \cdot 99}=\frac{99-1}{50 \cdot 99}}\)
2)
\(\displaystyle{ X=2}\)
Adama i Zofię na 2 sposoby ustawiam w czteropozycyjny klocek (z pustymi dwiema pozycjami w środku) który mogę umieścić na \(\displaystyle{ 97=99-2}\) sposobów. Pozostałe osoby ustawiam na \(\displaystyle{ 98!}\) sposobów.
\(\displaystyle{ p(2)= \frac{2 \cdot 97 \cdot 98!}{100!}= \frac{2 \cdot 97}{100 \cdot 99}= \frac{99-2}{50 \cdot 99}}\)




k)
\(\displaystyle{ X=k}\)
Adama i Zofię na 2 sposoby ustawiam w (k+2)pozycyjny klocek (z pustymi k pozycjami w środku) który mogę umieścić na \(\displaystyle{ 99-k}\) sposobów. Pozostałe osoby ustawiam na \(\displaystyle{ 98!}\) sposobów.
\(\displaystyle{ p(k)= \frac{2 \cdot (99-k) \cdot 98!}{100!}= \frac{99-k}{50 \cdot 99}}\)



To, czy rozkład jest prawidłowy, można sprawdzić przez wykazanie równości:
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{98}p(k)=1}\)