W eksperymencie badano trzy szczepy bakterii o różnej podatności na streptomycynę. Są one w stanie przetrwać podanie jednej dawki z prawdopodobieństwami odpowiednio \(\displaystyle{ 0,1 ; 0,5 ; 0,9}\). W próbce są bakterie wszystkich trzech rodzajów w proporcji \(\displaystyle{ 2:1:1}\). Wybrano losowo jedną bakterię, wyhodowano z niej kolonię i poddano działaniu streptomycyny.
a) Jakie jest prawdopodobieństwo, że kolonia przetrwa?
b) Jakie jest prawdopodobieństwo, że bakterie są z pierwszej grupy, jeśli wiemy, że nie przetrwały testu?
Intuicyjnie starałbym się wykazać, że te z pierwszej grupy prawie na pewno przetrwają, a z ostatniej prawie na pewno wyginą. Próbuje tu wcisnąc jakoś lemat Borela-Cantellego, ale nie wiem za bardzo jak się za to zabrać
Kolonia bakterii
-
- Użytkownik
- Posty: 165
- Rejestracja: 15 wrz 2010, o 09:13
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 28 razy
Kolonia bakterii
Ostatnio zmieniony 7 maja 2017, o 20:25 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych.
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych.
-
- Użytkownik
- Posty: 7910
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1670 razy
Kolonia bakterii
Doświadczenie losowe polega na wybraniu jednej bakterii i wyhodowaniu z niej kolonii.
Oznaczenia zdarzeń:
\(\displaystyle{ I}\) - szczep (grupa) bakterii przetrwa.
\(\displaystyle{ II}\) - szczep (grupa) bakterii przetrwa.
\(\displaystyle{ III}\) - szczep (grupa) bakterii przetrwa.
W - wybrano bakterię.
T - kolonia przetrwa.
a)
Ze wzoru na prawdopodobieństwo całkowite (zupełne):
\(\displaystyle{ P(T) = P(I) P(W|I) + P(II) P(W|II) + P(III) P(W| III).}\)
\(\displaystyle{ P(T) = \frac{1}{10}\cdot \frac{1}{2} + \frac{5}{10}\cdot \frac{1}{4} + \frac{9}{10}\cdot \frac{1}{4} = \frac{16}{40}= \frac{2}{5}.}\)
b)
Ze wzoru na prawdopodobieństwo warunkowe:
\(\displaystyle{ P(I|T') = \frac{P(I \cap T')}{P(T')} = \frac{1- P(I)P(W|I)}{1 - P(T)}.}\)
\(\displaystyle{ P(I|T') = \frac{\frac{19}{20}}{\frac{3}{5}}= \frac{45}{60} = \frac{3}{20}.}\)
Interpretacja otrzymanych wartości prawdopodobieństw
Z szansą \(\displaystyle{ 40\%}\) możemy oczekiwać, że kolonia przetrwa.
Należy przypuszczać, że w \(\displaystyle{ 15\%}\) ogólnej liczby wyników, jeżeli bakterie nie przetrwały testu to są z pierwszego szczepu (grupy).
Oznaczenia zdarzeń:
\(\displaystyle{ I}\) - szczep (grupa) bakterii przetrwa.
\(\displaystyle{ II}\) - szczep (grupa) bakterii przetrwa.
\(\displaystyle{ III}\) - szczep (grupa) bakterii przetrwa.
W - wybrano bakterię.
T - kolonia przetrwa.
a)
Ze wzoru na prawdopodobieństwo całkowite (zupełne):
\(\displaystyle{ P(T) = P(I) P(W|I) + P(II) P(W|II) + P(III) P(W| III).}\)
\(\displaystyle{ P(T) = \frac{1}{10}\cdot \frac{1}{2} + \frac{5}{10}\cdot \frac{1}{4} + \frac{9}{10}\cdot \frac{1}{4} = \frac{16}{40}= \frac{2}{5}.}\)
b)
Ze wzoru na prawdopodobieństwo warunkowe:
\(\displaystyle{ P(I|T') = \frac{P(I \cap T')}{P(T')} = \frac{1- P(I)P(W|I)}{1 - P(T)}.}\)
\(\displaystyle{ P(I|T') = \frac{\frac{19}{20}}{\frac{3}{5}}= \frac{45}{60} = \frac{3}{20}.}\)
Interpretacja otrzymanych wartości prawdopodobieństw
Z szansą \(\displaystyle{ 40\%}\) możemy oczekiwać, że kolonia przetrwa.
Należy przypuszczać, że w \(\displaystyle{ 15\%}\) ogólnej liczby wyników, jeżeli bakterie nie przetrwały testu to są z pierwszego szczepu (grupy).