Kolonia bakterii

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
Elek112
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 165
Rejestracja: 15 wrz 2010, o 09:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 28 razy

Kolonia bakterii

Post autor: Elek112 »

W eksperymencie badano trzy szczepy bakterii o różnej podatności na streptomycynę. Są one w stanie przetrwać podanie jednej dawki z prawdopodobieństwami odpowiednio \(\displaystyle{ 0,1 ; 0,5 ; 0,9}\). W próbce są bakterie wszystkich trzech rodzajów w proporcji \(\displaystyle{ 2:1:1}\). Wybrano losowo jedną bakterię, wyhodowano z niej kolonię i poddano działaniu streptomycyny.

a) Jakie jest prawdopodobieństwo, że kolonia przetrwa?
b) Jakie jest prawdopodobieństwo, że bakterie są z pierwszej grupy, jeśli wiemy, że nie przetrwały testu?

Intuicyjnie starałbym się wykazać, że te z pierwszej grupy prawie na pewno przetrwają, a z ostatniej prawie na pewno wyginą. Próbuje tu wcisnąc jakoś lemat Borela-Cantellego, ale nie wiem za bardzo jak się za to zabrać
Ostatnio zmieniony 7 maja 2017, o 20:25 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych.
Pakro
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 137
Rejestracja: 7 maja 2017, o 15:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 36 razy

Kolonia bakterii

Post autor: Pakro »

Przeczytaj tw. o prawdopodobieństwie calkowitym i wzorze Bayesa.
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Kolonia bakterii

Post autor: janusz47 »

Doświadczenie losowe polega na wybraniu jednej bakterii i wyhodowaniu z niej kolonii.

Oznaczenia zdarzeń:

\(\displaystyle{ I}\) - szczep (grupa) bakterii przetrwa.

\(\displaystyle{ II}\) - szczep (grupa) bakterii przetrwa.

\(\displaystyle{ III}\) - szczep (grupa) bakterii przetrwa.

W - wybrano bakterię.

T - kolonia przetrwa.

a)

Ze wzoru na prawdopodobieństwo całkowite (zupełne):

\(\displaystyle{ P(T) = P(I) P(W|I) + P(II) P(W|II) + P(III) P(W| III).}\)

\(\displaystyle{ P(T) = \frac{1}{10}\cdot \frac{1}{2} + \frac{5}{10}\cdot \frac{1}{4} + \frac{9}{10}\cdot \frac{1}{4} = \frac{16}{40}= \frac{2}{5}.}\)

b)

Ze wzoru na prawdopodobieństwo warunkowe:

\(\displaystyle{ P(I|T') = \frac{P(I \cap T')}{P(T')} = \frac{1- P(I)P(W|I)}{1 - P(T)}.}\)

\(\displaystyle{ P(I|T') = \frac{\frac{19}{20}}{\frac{3}{5}}= \frac{45}{60} = \frac{3}{20}.}\)

Interpretacja otrzymanych wartości prawdopodobieństw

Z szansą \(\displaystyle{ 40\%}\) możemy oczekiwać, że kolonia przetrwa.

Należy przypuszczać, że w \(\displaystyle{ 15\%}\) ogólnej liczby wyników, jeżeli bakterie nie przetrwały testu to są z pierwszego szczepu (grupy).
ODPOWIEDZ