Prawdopodobieństwo warunkowe

[k221]

Oglądnąłem ten film: i tutaj, jeżeli dobrze rozumiem, pod tytułem "The Bayesian Trap" kryje się po prostu prawdopodobieństwo warunkowe. Próbowałem to zrobić w bardziej klasyczny sposób - ze wzoru tylko coś mi nie wychodzi i byłbym wdzięczny za znalezienie błędu w rozumowaniu i wytłumaczenie jak to powinno być zrobione.

Zachęcam do oglądnięcia filmu ale w skrócie:
Test na pewną chorobę wyszedł nam pozytywny. Test ten poprawnie wykrywa chorobę u 99% ludzi, a wychodzi pozytywny mimo braku choroby u 1%. Dodatkowo wiadomo że tę chorobę ma 0.1% populacji. Jakie są szanse że mam tę chorobę?

I ja to zrobiłem tak:
P(H) - prawdopodobieństwo że mam chorobę,
P(-H) - prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego do H - nie mam choroby,
P(E) - prawdopodobieństwo że test wyszedł pozytywny
P(H|E) - prawdopodobieństwo że mam chorobę pod warunkiem że test wyszedł pozytywny (tego szukam)

W filmie został pokazany wzór:
\(\displaystyle{ P ( H | E ) = \frac{ P ( E | H ) * P ( H ) }{ P ( E | H ) * P ( H ) + P ( E | -H ) * P ( -H )}}\)

Najpierw udowodnię że jest on tożsamy ze wzorem na prawdopodobieństwo warunkowe co nie jest zbyt trudne:
\(\displaystyle{ P ( H | E ) = \frac{ P ( E | H ) * P ( H ) }{ P ( E | H ) * P ( H ) + P ( E | -H ) * P ( -H )} =
\frac{ \frac{ P ( E \cap H )}{P(H)} * P ( H ) }{\frac{ P ( E \cap H )}{P(H)} * P ( H ) + \frac{ P ( E \cap -H )}{P(-H)} * P ( -H )} =
\frac{P ( E \cap H )}{P ( E \cap H ) + P ( E \cap -H )} = \frac{P ( E \cap H )}{P ( E )} = \frac{P ( H \cap E )}{P ( E )}}\)

i wyszedł nam wzór na prawdopodobieństwo warunkowe a teraz z niego:
weźmy grupę kontrolną 99000 ludzi. Z nich 0.1% ma chorobę - czyli 99 osób. Jest to 99% osób u których zdiagnozowano chorobę, więc chorobę zdiagnozowano u 100 osób. Zatem:
\(\displaystyle{ \Omega= 99000
\\H = 99
\\E=100
\\H \cap E = 99}\)

\(\displaystyle{ P(H \cap E) = \frac{99}{99000} = \frac{1}{1000}}\)


\(\displaystyle{ P(E) = \frac{100}{99000} = \frac{1}{990}}\)

\(\displaystyle{ P(H|E) = \frac{ \frac{1}{1000}}{ \frac{1}{990} } = \frac{990}{1000} = 0.99}\)
I wróciłem do punktu wyjścia z prawdopodobieństwem 99%, a w filmie wyszło około 9% i nie wiem gdzie jest błąd w rozumowaniu.

[blade]

Z tego co zrozumiałem z filmu, \(\displaystyle{ 1\%}\) osób zdrowych będzie miało pozytywny wynik testu, czyli: \(\displaystyle{ 1\% \cdot (99000-99) = 1\% \cdot 98901 \approx 989}\).

Wtedy,
\(\displaystyle{ H = 99 \\ E=989+99=1088 \\ P(H | E ) = \frac{P(H \cap E)}{P(E)} = \frac{\frac{99}{99000}}{\frac{1088}{99000}} = \frac{99}{1088} \approx 0,09 = 9\%}\)