Rozkład wykładniczy - wartość oczekiwana estymatora

[James08]

Witam,
Mam problem z następującym dowodem:
Dla dodatnich λ niech \(\displaystyle{ S_{1}...S_{k}}\) będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie wykładniczym \(\displaystyle{ S_{i} \approx Exp(\lambda)}\) .
Niech:
\(\displaystyle{ \Lambda}\) - estymator lambda z falką.
\(\displaystyle{ k \ge 2}\)
\(\displaystyle{ G _{k} = \sum_{i=1}^{k} S_{i}}\)
oraz \(\displaystyle{ \Lambda _{k} = \frac{k-1}{G_{k}}}\)
Pokaż, że \(\displaystyle{ E(\Lambda_{k}) = \lambda}\)

Jakaś podpowiedź jak się za to zabrać?
Pozdr.

[Premislav]

Całkiem fajne zadanie, chyba miałem podobne na Statystyce B.
Ja bym znalazł dystrybuantę zmiennej losowej
\(\displaystyle{ \Lambda_k}\). Mamy:
\(\displaystyle{ F_{\Lambda_k}(t)=\mathbf{P}(\Lambda_k \le t)=\mathbf{P}\left( \frac{k-1}{G_k}\le t \right)}\)
Zmienna losowa po lewej stronie nierówności jest dodatnia z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ 1}\), przeto dalej możemy napisać, że
\(\displaystyle{ \mathbf{P}\left( \frac{k-1}{G_k}\le t \right)= \begin{cases} 0 \text{ gdy } t \le 0 \\ \mathbf{P}\left( G_k \ge \frac{k-1}{t} \right) \text{ gdy } t>0\end{cases}}\)
Znajdźmy zatem rozkład zmiennej losowej
\(\displaystyle{ G_k= \sum_{i=1}^{k}S_i}\)
Rozkład wykładniczy z parametrem \(\displaystyle{ \lambda>0}\) ma gęstość
\(\displaystyle{ f(x)=\mathbf{1}_{(0,+\infty)}(x)\lambda \ e^{-\lambda x}}\)
więc możemy to potraktować jako szczególny przypadek rozkładu gamma: \(\displaystyle{ \Gamma(1, \lambda)}\). Mamy więc sumę \(\displaystyle{ k}\) niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie \(\displaystyle{ \Gamma(1, \lambda)}\). Ta suma ma więc rozkład \(\displaystyle{ \Gamma(k, \lambda)}\).
Ogólny fakt: jeśli \(\displaystyle{ X_1, \dots X_k}\) są niezależnymi zmiennymi losowymi i \(\displaystyle{ X_i \sim \Gamma(\alpha_i, \beta)}\), to \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{k}X_i \sim \Gamma\left( \sum_{i=1}^{k}\alpha_i, \beta \right)}\)
Jak ktoś tego nie pamięta, to można przeliczyć na funkcjach tworzących momenty lub - co zawsze zadziała, więc może lepiej tak - na funkcjach charakterystycznych (funkcja charakterystyczna sumy niezależnych zmiennych losowych to iloczyn ich funkcji charakterystycznych).
Gęstość \(\displaystyle{ G_k}\) wygląda zatem tak:
\(\displaystyle{ g_k(x)=\mathbf{1}_{(0,+\infty)}(x) \frac{ \lambda ^k x^{k-1}}{\Gamma(k)}e^{-\lambda x}}\)
Czyli dla \(\displaystyle{ t>0}\) mamy
\(\displaystyle{ F_{\Lambda_k}(t)= \int_{ \frac{k-1}{t} }^{+\infty} \frac{ \lambda ^k x^{k-1}}{\Gamma(k)}e^{-\lambda x}\,\dd x}\)
Różniczkując to po \(\displaystyle{ t}\), dostajemy gęstość \(\displaystyle{ \Lambda_k}\):
\(\displaystyle{ f_{\Lambda_k}(t)= \frac{k-1}{t^2} \cdot \frac{\lambda^{k}}{\Gamma(k)}\left( \frac{k-1}{t} \right)^{k-1}e^{- \frac{\lambda(k-1)}{t} }}\) dla \(\displaystyle{ t>0}\).

Zdaje się, że to jedna z wersji rozkładu Pareta, ale dokładnie nie pamiętam...
No to fajnie, wartość oczekiwaną \(\displaystyle{ \Lambda_k}\) liczymy z definicji dla zmiennej losowej o rozkładzie ciągłym:
\(\displaystyle{ \mathbf{E}(\Lambda_k)= \int_{\RR}^{ }t f_{\Lambda_k}(t)\,\dd t=\\= \int_{0}^{+\infty}t \cdot \frac{k-1}{t^2} \cdot \frac{\lambda^{k}}{\Gamma(k)}\left( \frac{k-1}{t} \right)^{k-1}e^{- \frac{\lambda(k-1)}{t} }\,\dd t}\)
W tej ostatniej całce podstawmy \(\displaystyle{ u= \frac{k-1}{t}}\), wtedy \(\displaystyle{ \dd u=- \frac{k-1}{t^2}\,\dd t}\) i mamy:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{+\infty}t \cdot \frac{k-1}{t^2} \cdot \frac{\lambda^{k}}{\Gamma(k)}\left( \frac{k-1}{t} \right)^{k-1}e^{- \frac{\lambda(k-1)}{t} }\,\dd t=\bigg|u= \frac{k-1}{t} \bigg|=\\= \int_{0}^{+\infty} \frac{(k-1)\lambda^k}{\Gamma(k)}u^{k-2}e^{-\lambda u}\,\dd u=\lambda \int_{0}^{+\infty} \frac{\lambda^{k-1}}{\Gamma(k-1)}u^{k-2} e^{-\lambda u}=\lambda}\)
Ostatnia równość wzięła się stąd, że funkcja podcałkowa to gęstość zmiennej losowej o rozkładzie
\(\displaystyle{ \Gamma(k-1, \lambda)}\), zaś przedostatnia - ze znanej własności
\(\displaystyle{ \Gamma(z+1)=z\Gamma(z)}\).
Zapewne można to pokazać dużo prościej, ale coś mam zaćmienie. Poza tym ja bardzo lubię takie całeczki.